Ναιτεριανός δακτύλιος

Στα μαθηματικά, ένας Ναιτεριανός δακτύλιος είναι ένας δακτύλιος που ικανοποιεί τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας για αριστερά και δεξιά ιδεώδη- αν η προϋπόθεση της αλυσίδας ικανοποιείται μόνο για αριστερά ιδεώδη ή για δεξιά ιδεώδη, τότε ο δακτύλιος λέγεται αριστερά-Ναιτεριανός ή δεξιά-Ναιτεριανός αντίστοιχα. Δηλαδή, κάθε αύξουσα ακολουθία $I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots$ αριστερών (ή δεξιών) ιδεωδών έχει ένα μεγαλύτερο στοιχείο, δηλαδή υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε: $I_{n}=I_{n+1}=\cdots .$

Αντίστοιχα,, ένας δακτύλιος είναι αριστερό-Ναιτεριανός (αντίστοιχα δεξιός-Ναιτεριανός) αν κάθε αριστερό ιδεώδες (αντίστοιχα δεξιό ιδεώδες) παράγεται πεπερασμένα. Ένας δακτύλιος είναι Ναιτεριανός αν είναι και αριστερά και δεξιά Ναιτεριανός.

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι είναι θεμελιώδεις τόσο στην αντιμεταθετική όσο και στη μη αντιμεταθετική θεωρία δακτυλίων, δεδομένου ότι πολλοί δακτύλιοι που συναντώνται στα μαθηματικά είναι αριθμητικοί (ιδίως ο δακτύλιος των ακεραίων, οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι και οι δακτύλιοι αλγεβρικών ακεραίων σε αριθμητικά πεδία), και πολλά γενικά θεωρήματα για τους δακτυλίους βασίζονται σε μεγάλο βαθμό στην ιδιότητα του αριθμητικού δακτυλίου (για παράδειγμα, το θεώρημα Λάσκερ - Νετέρ και το θεώρημα τομής Κρουλ).

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι πήραν το όνομά τους από την Έμι Νέτερ, αλλά η σημασία της έννοιας αναγνωρίστηκε νωρίτερα από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ, με την απόδειξη του θεωρήματος βάσης του Χίλμπερτ (το οποίο υποστηρίζει ότι οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι είναι Ναιτεριανοί) και του θεωρήματος συζυγίας του Χίλμπερτ.

Χαρακτηρισμοί

Για τους μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους, είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ τριών πολύ παρόμοιων εννοιών:

• Ένας δακτύλιος είναι αριστερός-Ναιτεριανός αν ικανοποιεί τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας για τα αριστερά ιδεώδη.
• Ένας δακτύλιος είναι δεξιός-Ναιτεριανός αν ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για τα δεξιά ιδεώδη.
• Ένας δακτύλιος είναι Ναιτεριανός αν είναι και αριστερά και δεξιά Ναιτεριανός.

Για αντιμεταθετικούς δακτυλίους, και οι τρεις έννοιες συμπίπτουν, αλλά γενικά είναι διαφορετικές. Υπάρχουν δακτύλιοι που είναι αριστερά-Ναιτεριανός και όχι δεξιά-Ναιτεριανός, και αντίστροφα.

Υπάρχουν και άλλοι, ισοδύναμοι ορισμοί για να είναι ένας δακτύλιος R αριστερά-Ναιτεριανός:

• Κάθε αριστερό ιδεώδες I στο R παράγεται πεπερασμένα, δηλαδή υπάρχουν στοιχεία $a_{1},\ldots ,a_{n}$ στο I τέτοια ώστε $I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}$.
• Κάθε μη κενό σύνολο αριστερών ιδεωδών του R, μερικώς ταξινομημένο με συμπερίληψη, έχει ένα μέγιστο στοιχείο.

Παρόμοια αποτελέσματα ισχύουν για τους δεξιούς-Ναιτεριανούς δακτυλίους.

Η ακόλουθη συνθήκη είναι επίσης μια ισοδύναμη συνθήκη για να είναι ένας δακτύλιος R αριστερά-Ναιτεριανός και είναι η αρχική διατύπωση του Χίλμπερτ:

• Δεδομένης μιας ακολουθίας $f_{1},f_{2},\dots$ στοιχείων στο R, υπάρχει ένας ακέραιος $n$ τέτοιος ώστε κάθε $f_{i}$ να είναι ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$ με συντελεστές $r_{j}$ στο R.

Για να είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος Ναιτεριανός αρκεί κάθε πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου να έχει πεπερασμένη παραγωγή. Ωστόσο, δεν αρκεί να ζητήσουμε ότι όλα τα μέγιστα ιδανικά παράγονται πεπερασμένα, καθώς υπάρχει ένας τοπικός δακτύλιος μη-Ναιτεριανός του οποίου το μέγιστο ιδανικό είναι κύριο (δείτε ένα αντιπαράδειγμα στο θεώρημα τομής του Κρουλ ).

Ιδιότητες

• Αν ο R είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος $R[X]$ είναι Ναιτεριανός από το θεώρημα βάσης του Χίλμπερτ. Με επαγωγή, ο $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος. Επίσης, R[[X]], ο δακτύλιος των δυναμοσειρών, είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος.
• Αν R είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος και I είναι ένα αμφίπλευρο ιδεώδες, τότε ο πηλίκο δακτύλιος R/I είναι επίσης Ναιτεριανός . Διαφορετικά, η εικόνα οποιουδήποτε υποτακτικού ομομορφισμού δακτυλίου ενός Ναιτεριανού δακτυλίου είναι Ναιτεριανός .
• Ένας δακτύλιος R είναι αριστερός-Ναιτεριανός αν και μόνο αν κάθε πεπερασμένα παραγόμενο αριστερό R module είναι ένα Ναιτεριανός module.
• Αν ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος δέχεται ένα πιστό Ναιτεριανός module πάνω του, τότε ο δακτύλιος είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος..
• (Εάκιν-Ναγκάτα) Αν ένας δακτύλιος Α είναι υποδακτύλιος ενός αντιμεταθετικού Ναιτεριανού δακτυλίου Β έτσι ώστε ο Β να είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο module πάνω στον Α, τότε ο Α είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος.
• Ομοίως, αν ένας δακτύλιος Α είναι υποδακτύλιος ενός αντιμεταθετικού Ναιτεριανού δακτυλίου Β έτσι ώστε ο Β να είναι πιστά επίπεδος πάνω στον Α (ή γενικότερα να εμφανίζει τον Α ως καθαρό υποδακτύλιο), τότε ο Α είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος (δείτε το άρθρο "πιστά επίπεδος" για το σκεπτικό).
• Κάθε εντοπισμός ενός αντιμεταθετικού Ναιτεριανού δακτυλίου είναι Ναιτεριανός.
• Μια συνέπεια του θεωρήματος Ακιζούκι-Χόπκινς-Λεβίτσκι είναι ότι κάθε αριστερός Αρτινικός δακτύλιος είναι αριστερός Ναιτεριανός . Μια άλλη συνέπεια είναι ότι ένας αριστερός Αρτινικός δακτύλιος είναι δεξιός Ναιτεριανός αν και μόνο αν είναι δεξιός Αρτινικός. Οι ανάλογες δηλώσεις με την εναλλαγή των λέξεων "δεξιά" και "αριστερά" είναι επίσης αληθείς.
• Ένας αριστερός Ναιτεριανός δακτύλιος είναι αριστερά συνεκτικός και ένας αριστερός Ναιτεριανός τομέας είναι ένας αριστερός τομέας Ορ.
• (Bass) Ένας δακτύλιος είναι (αριστερά/δεξιά) Ναιτεριανός αν και μόνο αν κάθε άμεσο άθροισμα εγχυτικών (αριστερά/δεξιά) ενοτήτων είναι εγχυτικό. Κάθε αριστερή ενέσιμη ενότητα πάνω από μια αριστερή Ναιτεριανή ενότητα μπορεί να αναλυθεί ως άμεσο άθροισμα μη αναλύσιμων ενέσιμων ενοτήτων.
• Σε έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό δακτύλιο, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ελάχιστα πρωταρχικά ιδεώδη. Επίσης, η συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας ισχύει για τα πρωταρχικά ιδεώδη.
• Σε ένα αντιμεταθετικό Ναιτεριανό πεδίο R, κάθε στοιχείο μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε μη αναγώγιμα στοιχεία (εν συντομία, το R είναι πεδίο παραγοντοποίησης). Έτσι, εάν, επιπλέον, η παραγοντοποίηση είναι μοναδική μέχρι τον πολλαπλασιασμό των παραγόντων με μονάδες, τότε το R είναι ένα μοναδικό πεδίο παραγοντοποίησης.

Παραδείγματα

• Οποιοδήποτε πεδίο, συμπεριλαμβανομένων των πεδίων των ρητών αριθμών, των πραγματικών αριθμών και των μιγαδικών αριθμών, είναι Ναιτεριανός. (Ένα πεδίο έχει μόνο δύο ιδανικά - τον εαυτό του και το (0)).
• Οποιοσδήποτε δακτύλιος κύριων ιδεωδών, όπως οι ακέραιοι αριθμοί, είναι Ναιτεριανός αφού κάθε ιδεώδες παράγεται από ένα μόνο στοιχείο. Σε αυτά περιλαμβάνονται οι τομείς κύριων ιδεωδών και οι ευκλείδειοι χώροι.
• Ένας τομέας Ντέντεκιντ (π.χ. οι δακτύλιοι των ακεραίων) είναι ένας τομέας του Νουθεριανού, στον οποίο κάθε ιδεώδες παράγεται από δύο το πολύ στοιχεία.
• Ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας affine ποικιλίας είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, ως συνέπεια του θεωρήματος βάσης Χίλμπερτ.
• Η περιβάλλουσα άλγεβρα U μιας πεπερασμένης διάστασης άλγεβρας Lie ${\mathfrak {g}}$ είναι ένας αριστερός και δεξιός Ναιτεριανός δακτύλιος- αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι ο σχετικός βαθμωτός δακτύλιος της U είναι ένα πηλίκο του $\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})$, το οποίο είναι ένας πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από ένα πεδίο (το θεώρημα PBW)- άρα, Ναιτεριανός. Για τον ίδιο λόγο, η άλγεβρα Weyl, και γενικότερα οι δακτύλιοι των διαφορικών τελεστών, είναι Ναιτεριανός .
• Ο δακτύλιος των πολυωνύμων σε πεπερασμένου πλήθους μεταβλητές πάνω στους ακέραιους αριθμούς ή σε ένα πεδίο είναι Ναιτεριανός.

Οι δακτύλιοι που δεν είναι Ναιτεριανοί τείνουν να είναι (κατά μία έννοια) πολύ μεγάλοι. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα μη-Ναιτεριανών δακτυλίων:

• Ο δακτύλιος των πολυωνύμων σε απείρως πολλές μεταβλητές,X₁, X₂, X₃, κ.λπ. Η ακολουθία των ιδανικών (X₁), (X₁, X₂), (X₁, X₂, X₃), κ.λπ. είναι αύξουσα και δεν τερματίζεται.
• Ο δακτύλιος όλων των αλγεβρικών ακεραίων αριθμών δεν είναι Ναιτεριανός. Παραδείγματος χάριν, περιέχει την άπειρη αύξουσα αλυσίδα κύριων ιδανικών: (2^1/2), (2^1/4), (2^1/8), ...
• Ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων από τους πραγματικούς αριθμούς προς τους πραγματικούς αριθμούς δεν είναι Ναιτεριανός: Έστω I_n το ιδεώδες όλων των συνεχών συναρτήσεων f ώστε f(x) = 0 για όλα τα x ≥ n. Η ακολουθία των ιδεωδών I₀, I₁, I₂, κ.λπ. είναι μια αύξουσα αλυσίδα που δεν τερματίζεται.
• Ο δακτύλιος των σταθερών ομάδων ομοτοπίας των σφαιρών δεν είναι Ναιτεριανός.

Ωστόσο, ένας μη-Ναιτεριανός δακτύλιος μπορεί να είναι υποδακτύλιος ενός Ναιτεριανού δακτυλίου. Δεδομένου ότι κάθε Ακέραια περιοχή είναι υποδακτύλιος ενός πεδίου, κάθε Ακέραια περιοχή που δεν είναι Ναιτεριανή αποτελεί παράδειγμα. Για να δώσουμε ένα λιγότερο προφανές παράδειγμα,

• Ο δακτύλιος των ρητών συναρτήσεων που παράγονται από x και y /xⁿ πάνω από ένα πεδίο k είναι ένας υποδακτύλιος του πεδίου k(x,y σε δύο μόνο μεταβλητές.

Πράγματι, υπάρχουν δακτύλιοι που είναι δεξιοί Ναιτεριανοί, αλλά όχι αριστεροί Ναιτεριανοί, οπότε πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όταν μετράμε το "μέγεθος" ενός δακτυλίου με αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, αν η L είναι μια υποομάδα της Q² ισομορφική με την Z, έστω R ο δακτύλιος των ομομορφισμών f από την Q² προς τον εαυτό της που ικανοποιούν την f(L) ⊂ L. Επιλέγοντας μια βάση, μπορούμε να περιγράψουμε τον ίδιο δακτύλιο R ως εξής

$R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.$

Αυτός ο δακτύλιος είναι δεξιός Ναιτεριανός, αλλά όχι αριστερός Ναιτεριανός- το υποσύνολο I ⊂ R που αποτελείται από στοιχεία με a = 0 και γ = 0 είναι ένα αριστερό ιδεώδες που δεν παράγεται πεπερασμένα ως αριστερό R-module.

Αν ο R είναι ένας αντιμεταθετικός υποδακτύλιος ενός αριστερού Ναιτεριανού δακτυλίου S, και ο S παράγεται πεπερασμένα ως αριστερό R-module, τότε ο R είναι Ναιτεριανός. (Στην ειδική περίπτωση που ο S είναι αντιμεταθετικός, αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα του Έακιν.) Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει αν ο R δεν είναι αντιμεταθετικός: ο δακτύλιος R της προηγούμενης παραγράφου είναι υποδακτύλιος του αριστερού Ναιτεριανού δακτυλίου S = Hom(Q², Q²), και ο S παράγεται πεπερασμένα ως αριστερό R-module, αλλά ο R δεν είναι αριστερά Ναιτεριανός.

Ένας μοναδικός τομέας παραγοντοποίησης δεν είναι κατ' ανάγκη ένας δακτύλιος Ναιτεριανός. Ικανοποιεί μια ασθενέστερη συνθήκη: τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας για τα κύρια ιδεώδη. Ένας δακτύλιος πολυωνύμων σε απείρως πολλές μεταβλητές είναι ένα παράδειγμα ενός μη-Ναιτεριανού μοναδικού πεδίου παραγοντοποίησης.

Ένας δακτύλιος αποτίμησης δεν είναι Ναιτεριανός εκτός αν είναι τομέας κύριων ιδεωδών. Δίνει ένα παράδειγμα ενός δακτυλίου που προκύπτει φυσικά στην αλγεβρική γεωμετρία αλλά δεν είναι Ναιτεριανός.

Δακτύλιοι Ναιτεριανών ομάδων

Έστω ο ομαδικός δακτύλιος $R[G]$ μιας ομάδας $G$ πάνω σε έναν δακτύλιο$R$. Είναι ένας δακτύλιος και μια προσεταιριστική άλγεβρα πάνω από τον $R$ αν ο $R$ είναι αντιμεταθετικός. Για μια ομάδα $G$ και έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο $R$, οι ακόλουθες δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες.

• Ο δακτύλιος $R[G]$ είναι αριστερά-Ναιτεριανός.
• Ο δακτύλιος $R[G]$ είναι δεξιός-Ναιτεριανός.

Πράγματι, στην περίπτωση αυτή, υπάρχει μια διχοτόμηση μεταξύ του αριστερού και του δεξιού ιδεώδους του δακτυλίου της ομάδας, μέσω του ομομορφισμού $R$-προσεταιριστική άλγεβρα. ομομορφισμός

$R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },$

$g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).$

Έστω $G$ μια ομάδα και $R$ ένας δακτύλιος. Αν$R[G]$ είναι αριστερά/δεξιά/διπλής όψης Ναιτεριανή, τότε $R$ είναι αριστερά/δεξιά/διπλής όψης Νοηθεριανή και $G$είναι μια Ναιτεριανή ομάδα. Αντιστρόφως, αν ο$R$ είναι ένας Ναιτεριανός αντιμεταθετικός δακτύλιος και ο $G$ είναι μια επέκταση μιας Ναιτεριανής επιλύσιμης ομάδας (δηλαδή μιας πολυκυκλικής ομάδας) από μια πεπερασμένη ομάδα, τότε ο $R[G]$ είναι αμφίπλευρος Ναιτεριανός. Από την άλλη πλευρά, ωστόσο, υπάρχει μια Ναιτεριανή ομάδα $G$ της οποίας ο ομαδικός δακτύλιος πάνω σε οποιονδήποτε Ναιτεριανό αντιμεταθετικό δακτύλιο δεν είναι αμφίπλευρα Ναιτεριανός.

Βασικά θεωρήματα

Πολλά σημαντικά θεωρήματα στη θεωρία δακτυλίων (ειδικά η θεωρία των αντιμεταθετικών δακτυλίων) βασίζονται στις υποθέσεις ότι οι δακτύλιοι είναι Ναιτεριανοί.

Αντιμεταθετική περίπτωση

• Πάνω σε έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό δακτύλιο, κάθε ιδεώδες έχει πρωτογενή διάσπαση, που σημαίνει ότι μπορεί να γραφτεί ως τομή πεπερασμένου αριθμού πρωτογενών ιδεωδών (των οποίων οι ρίζες είναι όλες διαφορετικές), όπου ένα ιδεώδες Q ονομάζεται πρωτογενές αν είναι ορθό και κάθε φορά που xy ∈ Q, είτε x ∈ Q είτε yⁿ ∈ Q για κάποιο θετικό ακέραιο n. Παραδείγματος χάριν, αν ένα στοιχείο $f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}$ είναι ένα γινόμενο δυνάμεων διακριτών πρώτων στοιχείων, τότε $(f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})$ και έτσι η πρωτοβάθμια διάσπαση είναι μια άμεση γενίκευση της πρωτοβάθμιας παραγοντοποίησης ακεραίων και πολυωνύμων.
• Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος ορίζεται με όρους αύξουσας αλυσίδας ιδανικών. Το λήμμα Αρτίν-Ρις, από την άλλη πλευρά, δίνει κάποιες πληροφορίες για μια φθίνουσα αλυσίδα ιδανικών που δίνονται από δυνάμεις ιδανικών $I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots$. Είναι ένα τεχνικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για την απόδειξη άλλων βασικών θεωρημάτων, όπως το θεώρημα τομής Κρουλ.
• Η θεωρία των διαστάσεων των αντιμεταθετικών δακτυλίων συμπεριφέρεται άσχημα σε μη-Ναιτεριανούς δακτυλίους- το πολύ θεμελιώδες θεώρημα, το θεώρημα του Κρουλ για τo κύριο ιδεώδες, βασίζεται ήδη στην "Ναιτεριανή" υπόθεση. Εδώ, στην πραγματικότητα, η "Ναιτεριανή" υπόθεση συχνά δεν είναι αρκετή και αντί αυτής χρησιμοποιούνται συχνά (Ναιτεριανοί) δακτύλιοι, εκείνοι που ικανοποιούν μια ορισμένη θεωρητική παραδοχή διαστάσεων. Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι που εμφανίζονται σε εφαρμογές είναι ως επί το πλείστον καθολικά αλυσοειδείς.

Επίδραση σε αμφιμονοσήμαντα πρότυπα

Δεδομένου ενός δακτυλίου, υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της συμπεριφοράς των αμφιμονοσήμαντων προτύπων στο δακτύλιο και του κατά πόσον ο δακτύλιος είναι ή όχι ένας Ναιτεριανος δακτύλιος. Συγκεκριμένα, με δεδομένο έναν δακτύλιο R, οι ακόλουθες συμπεριφορές είναι ισοδύναμες:

• R είναι ένας αριστερός Ναιτεριανός δακτύλιος.
• (Bass) Κάθε άμεσο άθροισμα ενέσιμων αριστερών R-modules είναι αμφιμονοσήμαντο .
• Κάθε αμφιμονοσήμαντο αριστερό R-module είναι άμεσο άθροισμα αδιάσπαστων εγχυτικών συνόλων.
• ( Φέιθ-Γουόκερ) Υπάρχει ένας πληθικός αριθμός ${\mathfrak {c}}$ τέτοιος ώστε κάθε αμφιμονοσήμαντη αριστερή ενότητα πάνω από τον R να είναι ένα άμεσο άθροισμα από ${\mathfrak {c}}$-παραγόμενες ενότητες (μια ενότητα είναι ${\mathfrak {c}}$-παραγόμενη αν έχει ένα σύνολο παραγομένων με πληθικότητα το πολύ ${\mathfrak {c}}$)..
• Υπάρχει ένα αριστερό R-module H τέτοιο ώστε κάθε αριστερό R-module να ενσωματώνεται σε ένα άμεσο άθροισμα αντιγράφων του H.

Ο δακτύλιος ενδομορφισμού ενός αδιάσπαστου αμφιμονοσήμαντου module είναι τοπικός και έτσι το θεώρημα του Αζουμάγια αναφέρει ότι, πάνω σε έναν αριστερό Ναιτεριανό δακτύλιο, κάθε μη αναλύσιμη αποσύνθεση ενός αμφιμονοσήμαντου module είναι ισοδύναμη μεταξύ τους (μια παραλλαγή του θεωρήματος Κρουλ-Σμιντ).

Βιβλιογραφία

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 (2 έκδοση), New York: Springer-Verlag, σελ. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3 
• Atiyah, M. F., MacDonald, I. G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley-Longman. (ISBN 978-0-201-40751-8)
• Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7 (στα Αγγλικά). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-19371-7. 
• Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8. 
• Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). «Subrings of Noetherian rings». Proceedings of the American Mathematical Society 46 (2): 181–186. doi:10.2307/2039890. https://www.ams.org/journals/proc/1974-046-02/S0002-9939-1974-0414625-5/home.html. 
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, 236, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, Zbl 1292.00026 
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd έκδοση). New York: Springer. σελ. 19. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. MR 1838439. 
• Chapter X of edition=3

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Noetherian ring - Encyclopedia of Mathematics