Η νιφάδα του Κοχ είναι μία από τις πρώτες καμπύλες φράκταλ που περιγράφηκαν, πολύ πριν ο όρος «φράκταλ» επινοηθεί από τον Μπενουά Μάντελμπροτ.

Καλλιτεχνική απόδοση μιας νιφάδας του Κοχ. Ονομάζουμε την καμπύλη που περιγράφει το περίγραμμα του σχήματος νιφάδα του Κοχ.

Εφευρέθηκε το 1904 από τον Σουηδό μαθηματικό Χέλγκε φον Κοχ[1][2].

Καμπύλη του Κοχ

Επεξεργασία
 
Τα 4 πρώτα στάδια της κατασκευής.
 
Οι πρώτες 6 διαδοχικές καμπύλες σε κινούμενες εικόνες.

Μπορεί να δημιουργηθεί από ένα τμήμα γραμμής τροποποιώντας αναδρομικά κάθε τμήμα γραμμής ως εξής:

  1. Διαχωρίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα σε τρία τμήματα ίσου μήκους.
  2. Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με βάση το μέσο τμήμα από το πρώτο βήμα.
  3. Αφαιρούμε το δεξιό τμήμα που ήταν η βάση του τριγώνου στο δεύτερο βήμα.

Μετά από αυτά τα τρία βήματα, το προκύπτον αντικείμενο έχει σχήμα παρόμοιο με τη διατομή ενός καπέλου μάγισσας.

Η καμπύλη του Κοχ είναι η ένωση των κορυφών των πολυγωνικών γραμμών που προκύπτουν όταν τα παραπάνω βήματα επαναλαμβάνονται επ' αόριστον.

Μια επέκταση της έννοιας της διάστασης επιτρέπει να αποδοθεί στην καμπύλη Koch μια φράκταλ (μη ακέραια) διάσταση της οποίας η τιμή είναι[3][4][5]

 

Η καμπύλη του Κοχ είναι ένα παράδειγμα καμπύλης που είναι συνεχής, αλλά δεν μπορεί να διαχωριστεί σε κάθε σημείο της.

Μπορούμε να θεωρήσουμε τη νιφάδα του Κοχ ως τον ελκυστή μιας οικογένειας συστολών, γεγονός που μας επιτρέπει να αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι είναι ένα συμπαγές του R²[6].

Νιφάδα του Κοχ

Επεξεργασία
 
Δημιουργία της νιφάδας του Κοχ

Η νιφάδα του Κοχ δημιουργείται με τον ίδιο τρόπο όπως και το προηγούμενο φράκταλ, ξεκινώντας με ένα ισόπλευρο τρίγωνο αντί για μια ευθεία γραμμή και κάνοντας τις αλλαγές προσανατολίζοντας τα τρίγωνα προς τα έξω. Για ένα αρχικό τρίγωνο (βήμα 0) περιμέτρου p, η περίμετρος της νιφάδας στο βήμα n είναι (4/3)np.

Μπορούµε επίσης να ξεκινήσουµε µε ένα εξάγωνο και να εργαστούµε προσανατολίζοντας τα τρίγωνα προς τα µέσα.

Και στις δύο περιπτώσεις, μετά από μερικές επαναλήψεις λαμβάνουμε ένα σχήμα που θυμίζει κανονική νιφάδα χιονιού.

Όπως και η καμπύλη, η χιονονιφάδα Koch έχει άπειρο μήκος και πεπερασμένο εμβαδόν. Αυτό είναι ίσο με τα 8/5 του εμβαδού του αρχικού τριγώνου, λόγω της κατασκευής μόλις 3 τριγώνων στο πρώτο στάδιο.

Είναι δυνατή η επίστρωση του επιπέδου μόνο με τη χρήση αντιγράφων της νιφάδας του Κοχ σε δύο διαφορετικά μεγέθη[7][8].

Παραλλαγές της καμπύλης φον Κοχ

Επεξεργασία

Ακολουθώντας την ιδέα του von Κοχ, έχουν επινοηθεί διάφορες παραλλαγές, λαμβάνοντας υπόψιν ορθές γωνίες ("τετραγωνική"), άλλες γωνίες (" φράκταλ του Σεζάρο") ή επεκτάσεις σε υψηλότερες διαστάσεις ("σφαιρική νιφάδα", "επιφάνεια Κοχ").

Mεταβλητή Εικόνα Κατασκευή
1D & γωνία = 85°
 
φράκταλ του Σεζάρο.
Το φράκταλ του Σεζάρο είναι μια γενίκευση της καμπύλης Κοχ με γωνία μεταξύ 60° και 90° (εδώ 85°).
1D & 90°
 
Τετραγωνική καμπύλη του Κοχ (τύπου 1)
 
Οι 2 πρώτες επαναλήψεις.
1D & 90°
 
Τετραγωνική καμπύλη του Κοχ (τύπου 2)
 
Οι δύο πρώτες επαναλήψεις. Η μορφοκλασματική του διάσταση είναι 1,5, στα μισά του δρόμου μεταξύ της διάστασης 1 και της διάστασης 2. Αυτή η ιδιότητα την καθιστά μια πολύ δημοφιλή καμπύλη για τη μελέτη των φυσικών ιδιοτήτων των μορφοκλασματικών αντικειμένων. (τύπου Sapoval).
2D & triangles
 
Επιφάνεια φον Κοχ
 
Οι 2 πρώτες επαναλήψεις. 2διάστατη φυσική επέκταση της καμπύλης φον Κοχ.
2D & 90°
 
Τετραγωνική επιφάνεια του Κοχ (τύπου 1)
     

Τα τρία πρώτα στάδια.

2D & 90°
 
Τετραγωνική επιφάνεια του Κοχ (τύπου 2)
     

Τα τρία πρώτα στάδια.

2D & σφαίρες
 
Σφαιρική νιφάδα
Ο Ερίκ Χέινς ανέπτυξε το φράκταλ sphereflake (σφαιρική νιφάδα), Μια επέκταση της νιφάδας του Κοχ, βασισμένη σε σφαίρες.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. H. von Koch, « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire », Arkiv för matematik, astronomi och fysik, vol. 1,‎ 1904, p. 681-704.
  2. www.bibliopolis.com. «Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire by Helge von KOCH on SOPHIA RARE BOOKS». SOPHIA RARE BOOKS (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 20 Σεπτεμβρίου 2023. 
  3. Une démonstration figure dans « Les fractales », Tangente HS, no 18, σ. 26.
  4. Weisstein, Eric W., "Νιφάδα του Κοχ" από το MathWorld..
  5. Moire patterns fractals.
  6. «Courbe de Koch». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 20 Σεπτεμβρίου 2023. 
  7. Burns, Aidan (1994-07). «78.13 Fractal tilings» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 78 (482): 193–196. doi:10.2307/3618577. ISSN 0025-5572. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/7813-fractal-tilings/9DF3195C75314ED807AA6FD8B8132A4D. 
  8. Rigby, John (1995-11). «79.51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 79 (486): 560–561. doi:10.2307/3618091. ISSN 0025-5572. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/7951-tiling-the-plane-with-similar-polygons-of-two-sizes/8159E392A87A130FAC98821BF2C2C6E0.