Παραγοντικό

Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται νι παραγοντικό, και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν.

ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν

Για παράδειγμα,

2!=1·2= 2

3!=1·2·3= 6

4!=1·2·3·4= 24

5!=1·2·3·4·5= 120

8!=1·2·3·4·5·6·7·8= 40.320

10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10= 3.628.800

12!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12= 479.001.600

Το παραγοντικό ενός αριθμού ν εκφράζει και το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν στοιχεία ενός συνόλου.

• Συμβατικά 0! = 1! = 1
• Ισχύει η σχέση ν! = (ν-1)! ∙ ν.

Από τους τετραγωνιστές του κύκλου Λ.Σ. και Χ.Τ.

Υπάρχει η σχέση : (απόδειξη ότι το 0!=1)

4!=5!/5=24

3!=4!/4=6

2!=3!/3=2

1!=2!/2=1

0!=1!/1=1

Επιπλέον θέσαμε ένα νέο παραγοντικό ενός αριθμού ν που εκφράζει το άθροισμα των αριθμών που πολλαπλασιάζονται για να υπάρξει το ν! Το συμβολίζουμε με το ανάποδο θαυμαστικό ¡

ν¡=ν+(ν-1)+(ν-2)+3+2+1

Έτσι έχουμε:

1¡=1

2¡=3

3¡=6

4¡=10

5¡=15

6¡=21

7¡=28

Διαπιστώνουμε ότι: 3!=1*2*3=6=1+2+3=3¡

Επίσης αποδεικνύεται ότι ν!= (ν+1)!/(ν+1)

Για παράδειγμα 5!=5*4*3*2*!=120 Βάσει της προηγούμενης σχέσης πράγματι αποδεικνύεται πως 5!=6!/6=6*5*4*3*2*!/6=6*120/6=120

Βάσει της παραπάνω σχέσης βλέπουμε πως πράγματι 0!=1 όπως είχαμε προαναφέρει καθώς 0!=1!/1=1/1=1

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Παραγοντικό (N≤40000)