Πολυφασική ροή

Πολυφασική ροή (multiphase flow)ονομάζεται η ταυτόχρονη ροή δύο ή περισσοτέρων φάσεων εντός αγωγού. Με τον όρο φάση δεν εννοούμε αναγκαστικά κατάσταση της ύλης αλλά μπορεί να έχουμε πολυφασική ροή ακόμη και αν έχουμε ταυτόχρονη ροή δύο ή περισσοτέρων υγρών ή στερεού διαφόρων μεγεθών μαζί με ρευστό. Έτσι σε μια ροή που υπάρχουν ταυτόχρονα τρία υγρά, τρία αέρια και ένα στερεό (σε κόκκους) έχουμε 7-φασική ροή. Σε πολυφασική ροή αέρα-στερεών σωματιδίων η ταχύτητα του αέρα πρέπει να είναι τόση ώστε τα σωματίδια να μεταφέρονται με αιώρηση. Το είδος αυτό ροής ονομάζεται πνευματική μεταφορά. Η πνευματική μεταφορά χωρίζεται σε αραιή όταν ο λόγος παροχής μαζών των σωματιδίων προς αυτής του φορέα (αέρας) είναι μικρός και σε πυκνή όταν ο παραπάνω λόγος είναι μεγάλος. Σε πολυφασική ροή όπου ο φορέας είναι νερό έχουμε υδραυλική μεταφορά. Στην πνευματική μεταφορά υπάρχουν δύο θεωρίες για την προσέγγιση της: α) Η θεωρία της ομογενούς διφασικής ροής όπου αέρας και σωματίδια θεωρούνται σαν ψευδο-ρευστό οι ιδιότητες του οποίου είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των ιδιοτήτων των δύο φάσεων. Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα αέρα και σωματιδίων θεωρείται ως ίδια. β) Η θεωρία της χωριστής διαφασικής ροής όπου οι δύο φάσεις θεωρούνται ότι ρέουν χωριστά στον αγωγό και υπάρχει πλήρης αλληλεπίδραση μεταξύ τους. Οι κατανομές ταχυτήτων αέρα και σωματιδίων θεωρούνται διαφορετικές.

Εξισώσεις μεταφοράς πολυφασικών ροών

Οι γενικές εξισώσεις μεταφοράς για πολυφασικά συστήματα αφορούν ροές στις οποίες δύο ή περισσότερα ρευστά συνυπάρχουν στο ίδιο σύστημα, τα οποία αλληλεπιδρούν με διάφορους τρόπους (συναλλαγή μάζας, ορμής και ενέργειας), όπως επίσης συστήματα στα οποία υπάρχει διασκορπισμένη διακριτή φάση η οποία αλληλεπιδρά με την συνεχή. Σύνηθες φαινόμενο στα πολυφασικά συστήματα αποτελούν οι χημικές αντιδράσεις μεταξύ των συνεχών ή συνεχών/διακριτών φάσεων. Επί παραδείγματι, η πυρόλυση βιομάζας σε μια ρευστοποιημένη κλίνη αποτελεί ένα πολυφασικό σύστημα όπου η αλληλεπίδραση των συνεχών και των διακριτών φάσεων με μεταφορά μάζας, ορμής και ενέργειας ενεργοποιεί την θερμική αποδόμηση των στερεών σωματιδίων βιομάζας. Δευτερεύουσες αντιδράσεις των προϊόντων αντίδρασης είναι επίσης κλασικό χαρακτηριστικό του συστήματος.

Γενικές σχέσεις

Η βασική προσέγγιση για την ανάπτυξη εξισώσεων ισορροπίας σε πολυφασικά συστήματα είναι η υπόθεση οτι το σύστημα αποτελείται από έναν επαρκή αριθμό σωματιδίων ούτως ώστε να εξομαλυνθούν τυχόν ασυνέχειες. Αυτό σημαίνει ότι οι παράγωγοι των διαφόρων μεταβλητών του συστήματος υπάρχουν και είναι συνεχείς. Το θεώρημα μεταφοράς Ρέινολντς χρησιμοποιείται σε μια αυθαίρετη μεταβλητή, $\zeta$, ανά μονάδα όγκου. Άρα για έναν όγκο στο χώρο $V$ ο οποίος μεταβάλλεται με το χρόνο $t$ και περιβάλλεται από μία κλειστή επιφάνεια ισχύει η ακόλουθη σχέση (Gidaspow και Aris).

${{\frac {d}{dt_{i}}}\iiint _{V(t)}\zeta dV}=\iiint _{V(t)}{\Big (}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+\nabla \cdot \zeta v_{i}{\Big )}dV.$

Το σύστημα της παραπάνω εξίσωσης κινείται με ταχύτητα $v_{i}$. Η διαφόριση προς το χρόνο φέρει το δείκτη $i$ ακριβώς για να υπογραμμίσει αυτήν την κατάσταση. Στην απόδειξη της εξίσωσης διατήρησης μάζας για πολυσυστατικά μονοφασικά συστήματα η μεταβλητή $\zeta$ είναι η μερική πυκνότητα του συστατικού $i$ και ο όγκος $V$ είναι ο ίδιος για όλα τα στοιχεία (συστατικά). Στις πολυφασικές ροές, ο όγκος που καταλαμβάνει μία φάση $i$ δεν μπορεί να καταληφθεί από κάποια άλλη την ίδια στιγμή στο χώρο και στο χρόνο. Αυτό εισήγαγε την έννοια του κλάσματος όγκου $\varepsilon _{i}$ που αντιστοιχεί στη φάση $i$. Συνεπώς, σε ένα πολυφασικό σύστημα

${V_{i}}=\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}dV,$

όπου

$\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=1,$

όπου $i=1,2,...,n$ είναι ο αριθμός των φάσεων του συστήματος.

Συνθήκη ασυμπιεστότητας (αν το ρευστό ασυμπίεστο)

Αν το ρευστό είναι ασυμπίεστο και δεν υπάρχει αλλαγή φάσεως, τότε ο όγκος $V_{i}$ είναι σταθερός και η παράγωγος του θα είναι μηδέν. Εφαρμόζοντας το θεώρημα μεταφοράς Ρέινολντς στην εξίσωση μερικού όγκου $V_{i}$ λαμβάνουμε

${{\frac {d}{dt_{i}}}\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}dV}=\iiint _{V(t)}{\Big (}{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial t}}+\nabla \cdot \varepsilon _{i}v_{i}{\Big )}dV=0,$

το οποίο καταλήγει σε

${\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial t}}+\nabla \cdot \varepsilon _{i}v_{i}=0.$

Η παραπάνω εξίσωση είναι γνωστή ως η εξίσωση ασυμπιεστότητας για πολυφασικές ροές.

Διατήρηση μάζας

Στα πολυφασικά συστήματα η μάζα της φάσης $i$ είναι συνάρτηση του κλάσματος όγκου της $\varepsilon _{i}$ και της πυκνότητας της $\rho _{i}$. Άρα,

$m_{i}=\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}dV.$

Το αξίωμα διατήρησης μάζας της φάσης $i$ είναι

${\frac {dm_{i}}{dt_{i}}}={\frac {d}{dt_{i}}}{\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}dV}=\iiint _{V(t)}\Gamma _{i}dV,$

όπου $\Gamma _{i}$ είναι ο ρυθμός παραγωγής της φάσης $i$ ανά μονάδα όγκου, λόγω αλλαγής φάσης ή χημικής αντίδρασης. Χωρίς αλλαγή φάσης ή χημική αντίδραση η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι ίση με μηδέν. Εφαρμόζοντας το θεώρημα μεταφοράς Ρέινολντς στην παραπάνω εξίσωση, λαμβάνουμε την διαφορική εξίσωση διατήρησης μάζας

${\frac {\partial (\varepsilon _{i}\rho _{i})}{\partial {t}}}+\nabla \cdot (\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i})=\Gamma _{i}.$

Απαραίτητη συνθήκη για τη διατήρηση μάζας είναι ότι το άθροισμα του όρου $\Gamma _{i}$ όλων των φάσεων είναι μηδέν

$\sum _{i=1}^{n}{\Gamma _{i}}=0.$

Διατήρηση ορμής

Η ορμή της φάσης $i$ σ'ένα πολυφασικό σύστημα ορίζεται ως $\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i}dV$. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα λέει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός συστήματος είναι ίσος με το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε πολυφασικά συστήματα είναι επιφανειακές δυνάμεις, βαρυτικές δυνάμεις και δυνάμεις λόγω αλληλεπίδρασης των φάσεων, όπως επίσης δυνάμεις λόγω προσθήκης μάζας λόγω αντιδράσεων. Μαθηματικά, αυτό διατυπώνεται ως

${\frac {d}{dt_{i}}}{\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i}dV}={\textbf {F}}_{i}^{b}+{\textbf {F}}_{i}^{s},$

όπου ${\textbf {F}}_{i}^{b}$ είναι η σωματική πηγή ορμής στην φάση $i$ και ${\textbf {F}}_{i}^{s}$ είναι η επιφανειακή πηγή. Η σωματική πηγή ορίζεται ως

${{\textbf {F}}_{i}^{b}}=\iiint _{V(t)}(\varepsilon _{i}\rho _{i}\mathrm {\textbf {b}} _{i}+\mathrm {\textbf {M}} _{ij}+\Gamma _{i}v_{ij})dV.$

Ο όρος $\mathrm {\textbf {b}} _{i}$ είναι η δύναμη σώματος ανά μονάδα μάζας η οποία αποδίδεται σε εξωτερικές δυνάμεις όπως είναι η βαρυτική. Η ποσότητα $\mathrm {\textbf {M}} _{ij}$ είναι η δύναμη που ασκείται στην φάση $i$ λόγω αλληλεπίδρασης με τις υπόλοιπες φάσεις του συστήματος. Ο πηγαίος όρος $\Gamma _{i}v_{ij}$ είναι η πηγή ορμής λόγω αλλαγής φάσης. Η επιφανειακός όρος ${\textbf {F}}_{i}^{s}$ ορίζεται ώς

${{\textbf {F}}_{i}^{s}}=\oint _{S(t)}\mathrm {\textbf {T}} _{i}da,$

όπου ο όρος $\mathrm {\textbf {T}} _{i}$ είναι ο τανυστής τάσεων, ο οποίος είναι η πηγή ορμής ανά μονάδα επιφάνειας της φάσης $i$. Το επιφανειακό διανυσματικό στοιχείο $da$ είναι ίσο με $da=\mathrm {\textbf {n}} dS$ όπου $\mathrm {\textbf {n}}$ είναι το μοναδιαίο εξωτερικό διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια $S$. Στον τριδιάστατο χώρο $x,y,z$ ο τανυστής τάσεων $\mathrm {\textbf {T}} _{i}$ για την φάση $i$ δίνεται από την παρακάτω σχέση

${\mathrm {\textbf {T}} _{i}}={\begin{pmatrix}T_{ixx}&T_{ixy}&T_{ixz}\\T_{iyx}&T_{iyy}&T_{iyz}\\T_{izx}&T_{izy}&T_{izz}\\\end{pmatrix}},$

όπου το τυπικό του στοιχείο $T_{iyx}$ είναι η δύναμη της φάσης $i$ στην $x$ κατεύθυνση, ανά μονάδα επιφάνειας της πρόσοψης ενός διαφορικού κυβικού στοιχείου στον $y$ άξονα

$T_{iyx}={\frac {\partial F_{ix}}{\partial A_{y}}}.$

Επομένως η διατήρηση της ορμής παίρνει τη μορφή

${\frac {d}{dt_{i}}}{\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i}dV}=\iiint _{V(t)}(\varepsilon _{i}\rho _{i}\mathrm {\textbf {b}} _{i}+\mathrm {\textbf {M}} _{ij}+\Gamma _{i}v_{ij})dV+\oint _{S(t)}\mathrm {\textbf {T}} _{i}da.$

Εφαρμόζοντας το θεώρημα απόκλισης του Γκάους στο επιφανειακό ολοκλήρωμα του τανυστή τάσεων $\oint _{S(t)}\mathrm {\textbf {T}} _{i}da=\iiint _{V(t)}\nabla \cdot \mathrm {\textbf {T}} _{i}dV$ έχουμε

${\frac {d}{dt_{i}}}{\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i}dV}=\iiint _{V(t)}(\varepsilon _{i}\rho _{i}\mathrm {\textbf {b}} _{i}+\mathrm {\textbf {M}} _{ij}+\Gamma _{i}v_{ij}+\nabla \cdot \mathrm {\textbf {T}} _{i})dV.$

Εφαρμόζοντας το θεώρημα μεταφοράς Ρέινολντς παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση διατήρησης ορμης για την φάση $i$.

${\frac {\partial (\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i})}{\partial t}}+\nabla \cdot (\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i}\otimes v_{i})=\varepsilon _{i}\rho _{i}\mathrm {\textbf {b}} _{i}+\mathrm {\textbf {M}} _{ij}+\Gamma _{i}v_{ij}+\nabla \cdot \mathrm {\textbf {T}} _{i}.$

Το επόμενο στάδιο είναι ο ορισμός των εξισώσεων για τον τανυστή τάσεων $\mathrm {\textbf {T}} _{i}$ και των δυνάμεων αλληλεπίδρασης μεταξύ των φάσεων $\mathrm {\textbf {M}} _{ij}$. Οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης αποτελούνται από την οπισθέλκουσα (drag) δύναμη μεταξύ των φάσεων, δυνάμης φαινομενικής μάζας και άλλες δυνάμεις όπως δυνάμεις κρούσης κλπ. Στην πιο απλή του μορφή ο όρος $\mathrm {\textbf {M}} _{ij}$ μπορεί να οριστεί ως

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\mathrm {\textbf {M}} _{ij}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{K_{ij}}(v_{i}-v_{j}),$

όπου $K_{ij}$ είναι διαφασικός συντελεστής συναλλαγής ορμής, ο οποίος ορίζεται ως

$K_{ij}={\frac {\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\rho _{i}f}{\tau _{i}}}.$

Ο όρος $f$ ονομάζεται παράγοντας αεροδυναμικής αντίστασης και ο όρος $\tau _{i}$ αεροδυναμικός χρόνος αντίστασης ή σωματιδιακός χρόνος χαλάρωσης. Ο τανυστής τάσεων εκφράζεται μέσα από τον ορισμό της πίεσης φάσης $p_{i}$ και διατμητικών τάσεων ${\bar {\bar {\tau }}}_{i}$ μέσω του μοναδιαίου πίνακα ${\textbf {I}}.$

$\mathrm {\textbf {T}} _{i}=-{p_{i}}\mathrm {\textbf {I}} +{\bar {\bar {\tau }}}_{i}.$

Ο τανυστής διατμητικών τάσεων ${\bar {\bar {\tau }}}_{i}$ για τη φάση $i$ εκφράζεται με συμβολισμό τανυστών από την ακόλουθη σχέση,

${\bar {\bar {\tau }}}_{ij}=\varepsilon _{i}\mu _{i}({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}})+\varepsilon _{i}\lambda _{i}\delta _{ij}\nabla \cdot v_{i},$

ή χρησιμοποιώντας διανυσματικό συμβολισμό

${\bar {\bar {\tau }}}_{ij}=\varepsilon _{i}\mu _{i}(\nabla v_{i}+\nabla {v_{i}}^{T})+\varepsilon _{i}\lambda _{i}\nabla \cdot v_{i}.$

Ο όρος $\mu _{i}$ είναι η δυναμική συνεκτικότητα ή δυναμικό ιξώδες της φάσης $i$ και $\lambda _{i}$ είναι ο δεύτερος συντελεστής συνεκτικότητας της φάσης $i$. Προκειμένου να κλείσει τον αριθμό εξισώσεων για τις ορθές τάσεις ο Stokes διατύπωσε την ακόλουθη υπόθεση

$\lambda _{i}+{\frac {2}{3}}\mu _{i}=0.$

Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται ως συνεκτικότητα όγκου (bulk viscosity). Το σύμβολο $\delta _{ij}$ ονομάζεται Kronecker δέλτα ($\delta _{ij}=1$ αν $i=j$ και $\delta _{ij}=0$ αν $i\neq j$). Ο εκθέτης $T$ συμβολίζει την αντιμετάθεση του τανυστή της κλίσης της ταχύτητας.

Διατήρηση ενέργειας

Η βασική αρχή που χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη της εξίσωσης ενέργειας είναι ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος. Η διατύπωση αυτού είναι ότι οποιεσδήποτε μεταβολές συνολικής ενέργειας μέσα στον όγκο ελέγχου οφείλονται στον ρυθμό παραγωγής έργου των δυνάμεων που ασκούνται στον όγκο συν την συνολική ροή ενέργειας μέσα στον όγκο . Η ενέργεια της φάσης $i$ ορίζεται ως

$\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}{\Big (}e_{i}+{\frac {1}{2}}v_{i}^{2}{\Big )}dV,$

όπου $e_{i}$ είναι η εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα μάζας και ο όρος ${\frac {1}{2}}u_{i}^{2}$ είναι η κινητική ενέργεια της μέσης κίνησης του όγκου. Επομένως η διατήρηση της ενέργειας παίρνει τη μορφή

${\frac {d}{dt_{i}}}\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}{\Big (}e_{i}+{\frac {1}{2}}v_{i}^{2}{\Big )}dV={\textbf {W}}_{i}^{b}+{\textbf {W}}_{i}^{s},$

όπου ${\textbf {W}}_{i}^{b}$ είναι η σωματική πηγή ενέργειας στη φάση $i$, ενώ ${\textbf {W}}_{i}^{s}$ είναι η επιφανειακή πηγή. Η σωματική πηγή ενέργειας δίνεται από

${\textbf {W}}_{i}^{b}=\iiint _{V(t)}\varepsilon _{i}\rho _{i}(r_{i}+v_{i}\mathrm {\textbf {b}} _{i})+(E_{i}+v_{i}\mathrm {\textbf {M}} _{i})+\Gamma _{i}e_{ij}dV,$

όπου $r_{i}$ είναι η σωματική δύναμη ανά μονάδα μάζας που οφείλεται σε εξωτερικές δυνάμεις, $E_{i}$ είναι η πηγή ενέργειας στη φάση $i$ λόγω αλληλεπίδρασης με τις άλλες φάσεις του συστήματος και $\Gamma _{i}e_{ij}$ είναι η πηγή ενέργειας λόγω πηγής μάζας (mass source). Η επιφανειακή πηγή ενέργειας δίνεται από

${\textbf {W}}_{i}^{s}=\oint _{S(t)}\varepsilon _{i}(\mathrm {\textbf {T}} _{i}v_{i}-Q_{i})da,$

όπου ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης $\mathrm {\textbf {T}} _{i}v_{i}$ αντιπροσωπεύει την πίεση και συνεκτική σκέδαση και ο δεύτερος όρος $Q_{i}$ την πηγή ενέργειας ανά μονάδα συνολικής επιφάνειας Όπως εδείχθη και παραπάνω για τον τανυστή τάσεων έτσι και για την πηγή ενέργειας ανά μονάδα συνολικής επιφάνειας έχουμε

${Q_{i}\cdot da}=\mathrm {\textbf {n}} \cdot \mathrm {\textbf {q}} _{i}\cdot dS.$

Κάνοντας τις απαραίτητες αντικαταστάσεις όπως και με την εξίσωση διατήρησης ορμής, η εξίσωση ενέργειας παίρνει τη μορφή

${\frac {\partial (\varepsilon _{i}\rho _{i}e_{i})}{\partial {t}}}+\nabla \cdot (\varepsilon _{i}\rho _{i}v_{i}e_{i})=\varepsilon _{i}\mathrm {\textbf {T}} _{i}:\nabla v_{i}-\nabla \cdot \varepsilon _{i}\mathrm {\textbf {q}} _{i}+\varepsilon _{i}\rho _{i}r_{i}+E_{i}+\Gamma (e_{ij}-e_{i}-{\frac {1}{2}}v_{i}^{2}+v_{ij}v_{i}).$