Σπόγγος του Μένγκερ

Στα μαθηματικά, ο σπόγγος του Μένγκερ (επίσης γνωστός ως κύβος του Μένγκερ, καθολική καμπύλη του Μένγκερ, κύβος Ζιρπίνσκι, ή σφουγγάρι Ζιρπίνσκι) είναι ένα καμπυλωτό φράκταλ. Είναι μια τρισδιάστατη γενίκευση του μονοδιάστατου σύνολου Καντόρ και δισδιάστατου χαλιού Ζιρπίνσκι. Περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Καρλ Μένγκερ το 1926, στις μελέτες για την έννοια της τοπολογικής διάστασης.

Εικόνα 1: απεικόνιση του M₄, το σφουγγάρι, μετά από τέσσερις επαναλήψεις της διαδικασίας κατασκευής.

Κατασκευή

Εικόνα 3: γλυπτική αναπαράσταση των επαναλήψεων 0 (κάτω) και 3 (πάνω).

1. Ξεκινήστε με ένα κύβο (Εικόνα 2 - το πρώτο από τα αριστερά).
2. Χωρίστε κάθε έδρα του κύβου σε 9 τετράγωνα, σαν τον Κύβο του Ρούμπικ. Αυτό θα διαιρέσει τον κύβο σε 27 μικρότερους κύβους.
3. Αφαιρέστε το μικρότερο κύβο στη μέση κάθε έδρας και αφαιρέστε το μικρότερο κύβο στο κέντρο του μεγαλύτερου κύβου, αφήνοντας 20 μικρότερους κύβους (Εικόνα 2 - δεύτερος από αριστερά). Αυτό είναι ένα σφουγγάρι Μένγκερ επιπέδου 1 (που μοιάζει με ένα Κενό Κύβο).
4. Επαναλάβετε τα βήματα 2 και 3 για κάθε ένα από τους υπόλοιπους μικρότερους κύβους, και να συνεχίζει να επαναλαμβάνεται επ 'άπειρον.

Εικόνα 2: εικόνα της επαναληπτικής κατασκευής του σφουγγαριού Μένγκερ M₃, η τρίτη επανάληψη.

Αναπαράσταση ενός σφουγγαριού Μένγκερ μέσω των τεσσάρων βημάτων αναδρομής.

Ιδιότητες

Αλήθεια προβολή της διατομής του επιπέδου 4 Menger σφουγγάρι μέσω του κέντρου βάρους της και είναι κάθετος σε ένα χώρο διαγώνιο. Σε αυτό το διαδραστικό SVG, οι διατομές είναι αλήθεια-προβολή και κλίμακα.

Το ν στάδιο του σπόγγου του Μένγκερ, M_ν, αποτελείται από 20^ν μικρότερους κύβους, το καθένα με μήκος πλευράς (1/3)^ν. Ο συνολικός όγκος των M,_ν είναι έτσι (20/27)^ν. Η συνολική επιφάνεια των M,_ν , δίνεται από την έκφραση 2(20/9)_ν + 4(8/9)ⁿ. Συνεπώς, η κατασκευή του όγκου τείνει στο μηδέν, ενώ η επιφάνεια αυξάνει χωρίς όριο. Ακόμη επιλεγμένη επιφάνεια της κατασκευής θα είναι καλά τρυπημένη όπως η κατασκευή συνεχίζεται, έτσι ώστε το όριο δεν είναι ούτε στερεό ούτε μία επιφάνεια, έχει τοπολογική διάσταση 1 και είναι, κατά συνέπεια, προσδιορίζονται ως καμπύλη.

Κάθε έδρα της κατασκευής γίνεται Χαλί του Σιερπίνσκι και το σημείο τομής των σφουγγαριών με κάθε διαγώνιο του κύβου ή οποιοδήποτε μέσον της έδρας είναι σύνολο Καντόρ. Η διατομή του σφουγγαριού μέσα από το κέντρο βάρους είναι κάθετο σε ένα διαγωνικό χώρο. Είναι κανονικό εξάγωνο τρυπημένο με εξάγραμμα τοποθετημένα σε εξαπλή συμμετρία. Ο αριθμός αυτών των εξαγράμμων, κατά φθίνουσα μέγεθος, δίνεται από με $a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}$, με $a_{0}=1,\ a_{1}=6$ .

Η διάσταση Χάουσντορφ του σπόγγου του Μένγκερ είναι log 20/log 3 ≅ 2.727. Η διάσταση καμπύλης Λεμπέσκ του σπόγγου του Μένγκερ είναι ένα, και είναι το ίδιο με κάθε καμπύλη.<

Ένα μοντέλο tetrix προβληθούν μέσα από το κέντρο του Cambridge Επίπεδο-3 MegaMenger στο 2015 Cambridge Science Festival

Τυπικός ορισμός

Τυπικά, ένα σπόγγος του Μένγκερ μπορεί να οριστεί ως εξής:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

όπου $M_{0}$ είναι ο μοναδιαίος κύβος και

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{και το πολύ ένα από τα }}i,j,k{\mbox{ είναι ίσο με 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.$

Δημοσιεύσεις

• Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2001), Geometric function theory and non-linear analysis, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5 .
• Zhou, Li (2007), «Problem 11208: Chromatic numbers of the Menger sponges», American Mathematical Monthly 114 (9): 842