Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί.
Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 06/07/2016.
Έστω ένας χώρος πιθανότητας
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }
πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση
F
X
:
R
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle F_{X}:\mathbb {R} \to [0,1]}
με
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
P
(
{
ω
∈
Ω
∣
X
(
ω
)
≤
x
}
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=P\left(\lbrace \omega \in \Omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \right)}
ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ. , ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής , α.σ.κ. ) της τυχαίας μεταβλητής.
Παραδείγματα συναρτήσεων κατανομής.
Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές x 1 , x 2 , ... με πιθανότητα p (x i ) = P(Χ =x i ) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∑
x
i
≤
x
P
(
X
=
x
i
)
=
∑
x
i
≤
x
p
(
x
i
)
.
{\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).}
Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\operatorname {d} t}
Μια συνάρτηση κατανομής είναι αύξουσα και δεξιά συνεχής .
Επίσης ισχύει
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.}
Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει τιμές σε ένα διάστημα είναι
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
P
(
X
≤
b
)
−
P
(
X
≤
a
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)}