Συνάρτηση μάζας πιθανότητας

Στην στατιστική και στην Θεωρία πιθανοτήτων, η Συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι η συνάρτηση που προσδιορίζει την πιθανότητα μια διακριτή τυχαία μεταβλητή να λάβει ακριβώς μια τιμή από το πεδίο ορισμού της.

Η γνώση της συνάρτησης μάζας πιθανότητας ορίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή την οποία περιγράφει και ορίζεται τόσο για βαθμωτές τυχαίες μεταβλητές όσο και για πολυδιάστατες (τυχαία διανύσματα).

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας ορίζεται μόνον για διακριτές τυχαίες μεταβλητές και αυτή είναι μια από τις διαφορές της με την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που ορίζεται στις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής λαμβάνει την μέγιστη τιμή της στην διάμεσο της κατανομής.

Ορισμός

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι η κατανομή πιθανότητας μιας διακριτή τυχαίας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού της είναι όλες οι πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή ενώ η εικόνα του πεδίου ορισμού είναι οι πιθανότητες που το πεδίο ορισμού της.

Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ και το σύνολο τιμών ${\mathcal {X}}$. Λέμε ότι η τ.μ. $X$ λαμβάνει τιμές $x$ στο σύνολο ${\mathcal {X}}$ και συμβολίζουμε ως $X=x\in {\mathcal {X}}$. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι η συνάρτηση $p_{X}:{\mathcal {X}}\to [0,1]$ που ορίζεται ως:

$$p_{X}(x)=P(X=x)$$

όπου $x\in {\mathcal {X}}$ είναι μια εκ των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή $X$ και $P$ είναι μέτρο πιθανότητας.

Με άλλα λόγια η συνάρτηση μάζας πιθανότητας $p_{X}$ με όρισμα την πιθανή τιμή $x$ που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή $X$ συμβολίζεται με $p_{X}(x)$ και δηλώνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή $X=x$ δηλαδή να λάβει ακριβώς την τιμή $x$.

Σύμφωνα με τα αξιώματα των πιθανοτήτων (Αξιώματα κατά Κολμογκόροφ) μια πιθανότητα είναι πάντα μη-μηδενική και ως εκ τούτου η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μπορεί να πάρε μόνον μη μηδενικές τιμές. Επιπλέον το άθροισμα (εν δυνάμει αριθμήσιμα απείρων όρων) όλων των τιμών της συνάρτησης μάζας πιθανότητας πρέπει να είναι 1 δηλαδή:

$$\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p_{X}(x)=1$$

και

$$p_{X}(x)\geq 0.\quad \forall x\in {\mathcal {X}}$$