Σχετικά πρώτοι
Στη θεωρία αριθμών, δύο ακέραιοι αριθμοί και ονομάζονται σχετικά πρώτοι ή πρώτοι προς αλλήλους ή μεταξύ τους πρώτοι αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα.[1][2][3] Ισοδύναμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι σχετικά πρώτοι εάν δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη πλην του 1. Εξ ορισμού δύο (διαφορετικοί) πρώτοι αριθμοί είναι και σχετικά πρώτοι μεταξύ τους. Συμβολικά γράφουμε: ΜΚΔ(x, y) = 1 ή gcd(x, y) = 1 ή x ⊥ y.[4]
Για παράδειγμα οι ακέραιοι 14 και 15 είναι σχετικά πρώτοι γιατί ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1, δηλαδή ΜΚΔ(14, 15) = 1. Οι 14 και 21 δεν είναι σχετικά πρώτοι γιατί ΜΚΔ(14, 21) = 7.
Παράδειγμα
ΕπεξεργασίαΓια παράδειγμα οι αριθμοί 23 και 21 είναι σχετικά πρώτοι και για να το διαπιστώσουμε αυτό αρκεί να τρέξουμε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.
Να θυμίσουμε ότι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει το μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο αριθμών και (έστω ), με την ακόλουθη αναδρομική διαδικασία:
Με είσοδο :
- Αν το είναι μηδέν, δώσε το ως έξοδο.
- Βρες το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το , έστω .
- Τρέξε αναδρομικά τον αλγόριθμο (πήγαινε στο βήμα 1) με είσοδο .
Στο παράδειγμά μας έχουμε την ακόλουθη εκτέλεση (καλείται την πρώτη φορά ευθέως και τις άλλες τρεις αναδρομικά):
- ΜΚΔ(23,21)
- ΜΚΔ(21,2)
- ΜΚΔ(2,1)
- ΜΚΔ(1,0) και επιστρέφεται το 1 που είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των 23, 21.
Άρα, δείξαμε ότι οι αριθμοί 23 και 21 είναι σχετικά πρώτοι.
Δείτε επίσης
Επεξεργασία- Πρώτος αριθμός
- Συνάρτηση Όιλερ, , η οποία μας δίνει το πλήθος των μικρότερων του φυσικών αριθμών οι οποίοι είναι σχετικά πρώτοι με τον .
- Μέγιστος κοινός διαιρέτης
Παραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Παπαδημητράκης, Μιχάλης. «Θεωρία αριθμών: Πρόχειρες σημειώσεις» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 6 Απριλίου 2023.
- ↑ Γκότσης, Κ. (2017). «Σημειώσεις στοιχειώδους θεωρίας αριθμών» (PDF). Ανακτήθηκε στις 6 Απριλίου 2023.
- ↑ Αντωνιάδης, Ιωάννης· Κοντογεώργης, Αριστείδης (2015). Θεωρία αριθμών και εφαρμογές. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. Ανακτήθηκε στις 6 Απριλίου 2023.[νεκρός σύνδεσμος]
- ↑ Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003). «Τεχνικές Κρυπτογραφίας και Κρυπτανάλυσης. 3.Θεωρία αριθμών - αλγεβρικές δομές», σελ. 7, Εκδόσεις: ΖΥΓΟΣ, (ISBN 960-8065-40-2). Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.