Ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν αναφέρεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνύμου

${\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=((x+y)^{2}+y^{2})\cdot ((x-y)^{2}+y^{2})\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}$

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από την Σοφί Ζερμαίν.

Απόδειξη

Η απόδειξη ξεκινάει συμπληρώνοντας το τετράγωνο

${\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&=x^{4}+4y^{4}+4x^{2}y^{2}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2},\end{aligned}}$

έπειτα συνεχίζει χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων

${\phantom {x^{4}+4y^{4}}}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)\cdot (x^{2}+2y^{2}+2xy),$

το οποίο είναι επίσης ίσο με

${\phantom {x^{4}+4y^{4}}}=((x-y)^{2}+y^{2})\cdot ((x+y)^{2}+y^{2}).$

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Δείτε επίσης

• Παραγοντοποίηση
• Συμπληρώνοντας το τετράγωνο
• Διαφορά τετραγώνων