Διαφορά τετραγώνων

Στα μαθηματικά, η διαφορά τετραγώνων είναι η αφαίρεση ενός τετραγώνου ενός αριθμού από ένα άλλο τετράγωνο αριθμού. Η διαφορά των τετραγώνων $a^{2}$ και $b^{2}$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως ^[1]^[2]

a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot (a+b)

.

Απόδειξη Επεξεργασία

Η απόδειξη είναι σχετικά απλή και προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Η απόδειξη ισχύει πιο γενικά σε κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο.

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε ότι

(a-b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab-ba-b^{2}

.

Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουμε ότι

(a-b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}

.

Από τον ορισμό του αντίθετου αριθμού λαμβάνουμε ότι

(a-b)\cdot (a+b)=a^{2}+0-b^{2}

,

και από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου, καταλήγουμε ότι

(a-b)\cdot (a+b)=a^{2}-b^{2}

.

Παρακάτω δίνεται μία γεωμετρική απόδειξη με χρήση εμβαδών για την περίπτωση που $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $a\geq b$ .

Γεωμετρική απόδειξη για την διαφορά τετραγώνων.

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται για να κάνει τον παρονομαστή ενός κλάσματος ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε το κλάσμα

{\frac {5-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}

,

τότε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και παρονομαστή με ${\sqrt {3}}-1$ , λαμβάνουμε

{\frac {(5-{\sqrt {2}})\cdot ({\sqrt {3}}-1)}{({\sqrt {3}}+1)\cdot ({\sqrt {3}}-1)}}={\frac {5{\sqrt {3}}-5-{\sqrt {6}}++{\sqrt {2}}}{({\sqrt {3}})^{2}-1^{2}}}={\frac {5{\sqrt {3}}-5-{\sqrt {6}}++{\sqrt {2}}}{2}},

το οποίο κλάσμα έχει ρητό παρονομαστή.

Γενικεύοντας το παραπάνω, μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών $z_{1}=a+ib$ και $z_{2}=c+id$ . Πιο συγκεκριμένα,

{\frac {a+ib}{c+id}}={\frac {(a+ib)\cdot (c-id)}{(c+id)\cdot (c-id)}}={\frac {ac-iad+ibc+bd}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+i\cdot {\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται στον αλγόριθμο παραγοντοποίησης Φερμά.^[3]^:22-25

↑ Φιλιππίδης, Κ. «Μιγαδικοί αριθμοί» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2023.
↑ Αργυράκης, Δημήτριος· Βουργάνας, Παναγιώτης· Μεντής, Κωνσταντίνος· Τσικοπούλου, Σταματούλα· Χρυσοβέργης, Μιχαήλ. Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου. Αθήνα: Διόφαντος.
↑ Davenport, Harold. The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers (8η έκδοση). Cambridge: Cambridge university press. ISBN 9780521722360.