Διαφορά τετραγώνων
Στα μαθηματικά, η διαφορά τετραγώνων είναι η αφαίρεση ενός τετραγώνου ενός αριθμού από ένα άλλο τετράγωνο αριθμού. Η διαφορά των τετραγώνων και μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως [1][2]
- .
Απόδειξη
ΕπεξεργασίαΑλγεβρική απόδειξη
ΕπεξεργασίαΗ απόδειξη είναι σχετικά απλή και προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Η απόδειξη ισχύει πιο γενικά σε κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο.
Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε ότι
- .
Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουμε ότι
- .
Από τον ορισμό του αντίθετου αριθμού λαμβάνουμε ότι
- ,
και από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου, καταλήγουμε ότι
- .
Γεωμετρική απόδειξη
ΕπεξεργασίαΠαρακάτω δίνεται μία γεωμετρική απόδειξη με χρήση εμβαδών για την περίπτωση που και είναι πραγματικοί αριθμοί και .
Εφαρμογές
ΕπεξεργασίαΡητοποίηση παρονομαστή
ΕπεξεργασίαΗ ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται για να κάνει τον παρονομαστή ενός κλάσματος ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε το κλάσμα
- ,
τότε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και παρονομαστή με , λαμβάνουμε
το οποίο κλάσμα έχει ρητό παρονομαστή.
Διαίρεση μιγαδικών αριθμών
ΕπεξεργασίαΓενικεύοντας το παραπάνω, μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών και . Πιο συγκεκριμένα,
Παραγοντοποίηση Φερμά
ΕπεξεργασίαΗ ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται στον αλγόριθμο παραγοντοποίησης Φερμά.[3]:22-25
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Φιλιππίδης, Κ. «Μιγαδικοί αριθμοί» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2023.
- ↑ Αργυράκης, Δημήτριος· Βουργάνας, Παναγιώτης· Μεντής, Κωνσταντίνος· Τσικοπούλου, Σταματούλα· Χρυσοβέργης, Μιχαήλ. Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου. Αθήνα: Διόφαντος.
- ↑ Davenport, Harold. The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers (8η έκδοση). Cambridge: Cambridge university press. ISBN 9780521722360.