Ταυτότητα του Μπεζού

Στην θεωρία αριθμών, η ταυτότητα του Μπεζού (ή λήμμα Μπεζού) είναι η ακόλουθη πρόταση:

Λήμμα (Ταυτότητα του Μπεζού) — Έστω $a$ και $b$ θετικοί ακέραιοι με μέγιστο κοινό διαιρέτη $d$. Τότε, υπάρχουν ακέραιοι $x$ and $y$ τέτοιοι ώστε $ax+by=d$. Επιπλέον, όλοι οι ακέραιοι της μορφής $az+bt$ είναι πολλαπλάσια του $d$, για οποιουσδήποτε ακεραίους $z,t$.

Οι ακέραιοι αριθμοί $x$ και $y$ λέγονται συντελεστές Μπεζού για τα $(a,b)$, και δεν είναι μοναδικοί.

Ένα ζεύγος συντελεστών Μπεζού μπορεί να υπολογιστεί από τον εκτεταμένο αλγόριθμο του Ευκλείδη. Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Γάλλο μαθηματικό Ετιέν Μπεζού.

Παραδείγματα

• Για $a=3$ και $b=5$ που έχουν ΜΚΔ το $1$, έχουμε ότι $3\cdot 2+5\cdot (-1)=1$. Επομένως, $x=2$ και $y=-1$.
• Για $a=14$ και $b=10$ που έχουν ΜΚΔ το $2$, έχουμε ότι $14\cdot 3+10\cdot (-4)=2$. Επομένως, $x=3$ και $y=-4$.

Γενικεύσεις

Η ταυτότητα του Μπεζού γενικεύεται για παραπάνω από δύο θετικούς ακεραίους:

Λήμμα (Γενικευμένη ταυτότητα του Μπεζού) — Έστω $a_{1},\ldots ,a_{n}$ θετικοί ακέραιοι με μέγιστο κοινό διαιρέτη $d$. Τότε, υπάρχουν ακέραιοι $x_{1},\ldots ,x_{n}$, τέτοιοι ώστε

$x_{1}a_{1}+\ldots +x_{n}a_{n}=d$.

Δείτε επίσης

• Διοφαντική εξίσωση
• Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων