Ταυτότητα Bienaymé

Στην θεωρία πιθανοτήτων η ταυτότητα Bienaymé αναφέρεται στην μαθηματική ταυτότητα για τη διακύμανση του αθροίσματος $n$ τυχαίων μεταβλητών

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),$

όπου $\operatorname {Cov} (X,Y)$ είναι η συνδιακύμανση των $X$ και $Y$.

Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, τότε η ταυτότητα απλοποιείται ως εξής

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Παραδείγματα

• Για $n=2$, η ταυτότητα έχει τη μορφή

$\operatorname {Var} (X_{1}+X_{2})=\operatorname {Var} (X_{1})+\operatorname {Var} (X_{2})+2\operatorname {Cov} (X_{1},X_{2}).$

• Για $n=3$, η ταυτότητα έχει τη μορφή

$\operatorname {Var} (X_{1}+X_{2}+X_{3})=\operatorname {Var} (X_{1})+\operatorname {Var} (X_{2})+\operatorname {Var} (X_{3})+2\operatorname {Cov} (X_{1},X_{2})+2\operatorname {Cov} (X_{1},X_{3})+2\operatorname {Cov} (X_{2},X_{3}).$

Απόδειξη

Από τον ορισμό της διακύμανσης $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}$ προκύπτει ότι

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left(\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}\right)-\left(\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\right)^{2}.$

Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα χρησιμοποιώντας τον τύπο $(z_{1}+\ldots +z_{n})^{2}=(z_{1}^{2}+\ldots +z_{n}^{2})+(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+\ldots +z_{n-1}z_{n})$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2})+\sum _{i\neq j}\operatorname {E} (X_{i}X_{j})-\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {E} (X_{i}))^{2}-\sum _{i\neq j}\operatorname {E} (X_{i})\operatorname {E} (X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} (X_{i}^{2})-(\operatorname {E} (X_{i}))^{2}\right)+\sum _{i\neq j}\left(\operatorname {E} (X_{i}X_{j})-\sum _{i\neq j}\operatorname {E} (X_{i})\operatorname {E} (X_{j})\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}$

Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες τότε $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0$ για $i\neq j$ και επομένως ο τύπος απλοποιείται ως εξής:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Δείτε επίσης

• Διακύμανση
• Ανισότητα Τσεμπισιόφ
• Συνδιακύμανση