Τετραγωνικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός αν ο αριθμός των γραμμών και των στηλών του είναι ίσος. Πιο συγκεκριμένα, ένας τετραγωνικός πίνακας έχει διαστάσεις $\nu \times \nu$ για κάποιον φυσικό αριθμό $\nu \in \mathbb {N}$. Για παράδειγμα για $\nu =1,2,3,4$ η γενική μορφή του τετραγωνικού πίνακα δίνεται παρακάτω:

$\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}\end{bmatrix}} _{1\times 1}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&A_{24}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&A_{34}\\A_{41}&A_{42}&A_{43}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},$

και για γενικό $\nu \in \mathbb {N}$, ο πίνακας με διαστάσεις $\nu \times \nu$:

${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1\nu }\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2\nu }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{\nu 1}&A_{\nu 2}&\ldots &A_{\nu \nu }\end{bmatrix}}.$

Παραδείγματα

• Οι παρακάτω πίνακες είναι παραδείγματα τετραγωνικών πινάκων με διαστάσεις $1\times 1$, $2\times 2$ και $3\times 3$ αντίστοιχα:

$A_{1}={\begin{bmatrix}32\end{bmatrix}}\qquad A_{2}={\begin{bmatrix}3&8\\2&5\end{bmatrix}}\qquad A_{3}={\begin{bmatrix}1&6&3\\5&8&0\\2&9&5\end{bmatrix}}.$

• Οι ταυτοτικοί πίνακες $I_{\nu }$ είναι τετραγωνικοί. Για παράδειγμα για $\nu =1,2,3$:

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\qquad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$