Τυπικό σχήμα

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στην αλγεβρική γεωμετρία, ένα τυπικό σχήμα είναι ένας τύπος χώρου που περιλαμβάνει δεδομένα για το περιβάλλον του. Σε αντίθεση με ένα συνηθισμένο σχήμα, ένα τυπικό σχήμα περιλαμβάνει απειροελάχιστα δεδομένα που, στην πραγματικότητα, δείχνουν προς μια κατεύθυνση εκτός του σχήματος. Για τον λόγο αυτό, τα τυπικά σχήματα εμφανίζονται συχνά σε θέματα όπως η θεωρία παραμορφώσεως. Αλλά η έννοια χρησιμοποιείται επίσης για την απόδειξη ενός θεωρήματος, όπως το θεώρημα για τις τυπικές συναρτήσεις, το οποίο χρησιμοποιείται για την εξαγωγή θεωρημάτων που ενδιαφέρουν τα συνήθη σχήματα.

Ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα είναι ένα τοπικά Ναιτεριανό τυπικό σχήμα με τον κανονικό τρόπο: η τυπική ολοκλήρωση κατά μήκος του εαυτού του. Με άλλα λόγια, η κατηγορία των τοπικά Ναιτεριανών τυπικών σχημάτων περιέχει όλα τα τοπικά Ναιτεριανά σχήματα.

Τα τυπικά σχήματα είχαν ως κίνητρο και γενικεύουν τη θεωρία των τυπικών ολομορφικών συναρτήσεων του Ζαρίσκι.

Η αλγεβρική γεωμετρία που βασίζεται σε τυπικά σχήματα ονομάζεται τυπική αλγεβρική γεωμετρία.

Ορισμός

Τα τυπικά σχήματα ορίζονται συνήθως μόνο στην περίπτωση των Ναιτεριανών. Αν και έχουν δοθεί αρκετοί ορισμοί για μη-Ναιτεριανά τυπικά σχήματα, αυτά αντιμετωπίζουν τεχνικά προβλήματα. Κατά συνέπεια, θα ορίσουμε μόνο τοπικά Ναιτεριανά τυπικά σχήματα.

Όλοι οι δακτύλιοι θα θεωρηθούν αντιμεταθετικοί και με μονάδα. Έστω A ένας ("Ναιτεριανός") τοπολογικός δακτύλιος, δηλαδή ένας δακτύλιος A που είναι τοπολογικός χώρος τέτοιος ώστε οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού να είναι συνεχείς. Ο Α είναι γραμμικά τοπολογικός αν το μηδέν έχει βάση που αποτελείται από ιδεώδη. Ένα ιδεώδες του ορισμού ${\mathcal {J}}$ για έναν γραμμικά τοπολογικό δακτύλιο είναι ένα ανοικτό ιδεώδες τέτοιο ώστε για κάθε ανοικτή γειτονιά V του 0, υπάρχει ένας θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$. Ένας γραμμικά τοπολογικός δακτύλιος είναι προαποδεκτός αν δέχεται ένα ιδανικό ορισμού, και είναι αποδεκτός αν είναι επίσης πλήρης. (Στην ορολογία του Μπουρμπακί, αυτό σημαίνει "πλήρης και διαχωρισμένος").

Ας υποθέσουμε ότι το A είναι αποδεκτό, και έστω ${\mathcal {J}}$ ένα ιδεώδες του ορισμού. Ένα πρωταρχικό ιδεώδες είναι ανοικτό αν και μόνο αν περιέχει το ${\mathcal {J}}$. Το σύνολο των ανοικτών πρώτων ιδεωδών του A, ή ισοδύναμα το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του $A/{\mathcal {J}}$, είναι ο υποκείμενος τοπολογικός χώρος του τυπικού φάσματος του A, που συμβολίζεται Spf A. Ο Spf A έχει ένα δομικό δεμάτιο το οποίο ορίζεται χρησιμοποιώντας το δομικό δεμάτιο του φάσματος ενός δακτυλίου. Έστω ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ μια βάση γειτονιάς για το μηδέν που αποτελείται από τα ιδεώδη του ορισμού. Όλα τα φάσματα του $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ έχουν τον ίδιο υποκείμενο τοπολογικό χώρο, αλλά διαφορετικό δομικό δεμάτιο. Το δομικό δεμάτιο του Spf A είναι το προβολικό όριο $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν f ∈ A και D_f είναι το σύνολο όλων των ανοικτών πρώτων ιδεωδών του A που δεν περιέχουν το f, τότε ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$, όπου ${\widehat {A_{f}}}$ είναι η πλήρωση του εντοπισμού A_f.

Τέλος, ένα τοπικά Ναιτεριανό τυπικό σχήμα είναι ένας τοπολογικά δακτυλιωμένος χώρος $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ (δηλαδή, ένας δακτυλιοειδής χώρος του οποίου το δεμάτιο των δακτυλίων είναι δεμάτιο τοπολογικών δακτυλίων) έτσι ώστε κάθε σημείο του ${\mathfrak {X}}$ να δέχεται μια ανοικτή γειτονιά ισομορφική (ως τοπολογικά δακτυλιοειδείς χώροι) με το τυπικό φάσμα ενός Ναιτεριανού δακτυλίου.

Μορφισμοί μεταξύ τυπικών συστημάτων

Ένας μορφισμός $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ των τοπικά μη Ναιτεριανών τυπικών σχημάτων είναι ένας μορφισμός τους ως τοπικά δακτυλιωμένων χώρων τέτοιος ώστε ο επαγόμενος χάρτης$f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ είναι ένας συνεχής ομομορφισμός τοπολογικών δακτυλίων για κάθε αφινικό ανοικτό υποσύνολο U.

Η f λέγεται adic ή ${\mathfrak {X}}$ είναι ένα ${\mathfrak {Y}}$- adic τυπικό σχήμα αν υπάρχει ένα ιδεώδες ορισμού ${\mathcal {I}}$ τέτοιο ώστε $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ να είναι ένα ιδεώδες ορισμού για το ${\mathfrak {X}}$. Αν το f είναι adic, τότε αυτή η ιδιότητα ισχύει για κάθε ιδεώδες ορισμού.

Παραδείγματα

Για οποιοδήποτε ιδεώδες I και δακτύλιο A μπορούμε να ορίσουμε την I-adic τοπολογία στο A, η οποία ορίζεται από τη βάση του που αποτελείται από σύνολα της μορφής a+Iⁿ. Αυτό είναι προαποδεκτό, και αποδεκτό αν το A είναι I-adically πλήρες. Στην περίπτωση αυτή ο Spf A είναι ο τοπολογικός χώρος Spec A/I με sheaf των δακτυλίων ${\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ αντί ${\widetilde {A/I}}$.

1. A=k[[t]] και I=(t). Τότε A/I=k οπότε ο χώρος Spf A ένα μόνο σημείο (t) στο οποίο το δομικό του δεμάτιο παίρνει την τιμή k[[t]]. Συγκρίνετε αυτό με τον Spec A/I, του οποίου το δομικό δεμάτιο παίρνει τιμή k σε αυτό το σημείο: αυτό είναι ένα παράδειγμα της ιδέας ότι ο Spf A είναι μια "τυπική πύκνωση" του A γύρω από το I.
2. Η τυπική ολοκλήρωση ενός κλειστού υποσχήματος. Θεωρήστε το κλειστό υπόσχημα X του αφινικού επιπέδου πάνω από το k, που ορίζεται από το ιδεώδες I=(y²-x³). Σημειώστε ότι το A₀=k[x,y] δεν είναι I-adically πλήρες- γράψτε A για την I-adic ολοκλήρωσή του. Σε αυτή την περίπτωση, η Spf A=X ως χώροι και το δομικό της δεμάτιο είναι $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$. Οι καθολικές του τομές είναι A, σε αντίθεση με το X του οποίου οι καθολικές τομές είναι A/I.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Έμι Νέτερ
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
• Variance and Duality for Cousin Complexes on Formal Schemes
• The Tame Fundamental Group of a Formal Neighbourhood of a Divisor with ...
• Variance and Duality for Cousin Complexes on Formal Schemes
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 2. Lecture notes in mathematics (στα French). 270. Berlin; New York: Springer-Verlag. σελίδες iv+418. doi:10.1007/BFb0061319. ISBN 978-3-540-06012-3. 
• Alexandrov, Pavel S. (1981), «In Memory of Emmy Noether», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 99–111, ISBN 0-8247-1550-0 .
• Blue, Meredith (2001), Galois Theory and Noether's Problem, Thirty-Fourth Annual Meeting: Florida Section of The Mathematical Association of America, http://mcc1.mccfl.edu/fl_maa/proceedings/2001/blue.pdf, ανακτήθηκε στις 2013-06-10 .
• Byers, Nina (2–4 December 1996), «E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws», Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, IL: Bar-Ilan University, http://arxiv.org/abs/physics/9807044 .