Τύποι του Βιετά
Στα μαθηματικά, οι τύποι του Βιετά είναι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου ως άθροισμα γινομένων των ριζών του. Για παράδειγμα, για το τριώνυμο
- ,
ισχύει ότι,
- και .
Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον Φραγκίσκο Βιετά.
Γενικοί τύποι Επεξεργασία
Σε ένα πολυώνυμο βαθμού , με ρίζες έχουμε ότι[1]:65[2]:152[3]:16-17[4][5]:52[6]:323
Πιο συμπυκνωμένα, μπορεί να γραφτεί ως
όπου το άθροισμα είναι σε ακολουθίες μεγέθους .
Τριώνυμο Επεξεργασία
Θεωρούμε το τριώνυμο και έστω και οι ρίζες του. Τότε,
- ,
και ισχύει ότι
- και .
Παράδειγμα 1ο Επεξεργασία
Το τριώνυμο , μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως επομένως οι ρίζες του είναι και . Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:
- .
Παράδειγμα 2ο Επεξεργασία
Το τριώνυμο , μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως επομένως οι ρίζες του είναι και . Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:
- .
Τριτοβάθμιο πολυώνυμο Επεξεργασία
Θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο και έστω , , οι ρίζες του. Τότε
- .
Επεκτείνοντας το γινόμενο,
Από αυτό προκύπτει ότι
- , και .
Παράδειγμα Επεξεργασία
Το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως και επομένως οι ρίζες του είναι , και . Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:
- .
Δείτε επίσης Επεξεργασία
Περαιτέρω ανάγνωση Επεξεργασία
Ελληνικά άρθρα Επεξεργασία
- Γιάνναρος, Διονύσης (Απριλίου 2014). «Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τους τύπους Vieta και το θεώρημα Bolzano». Ευκλείδης Β΄ (92): 70-73. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T92.pdf.
Ξενόγλωσσα άρθρα Επεξεργασία
- Funkhouser, H. Gray (Αυγούστου 1930). «A Short Account of the History of Symmetric Functions of Roots of Equations». The American Mathematical Monthly 37 (7): 357–365. doi: .
- Karayannakis, Dimitris; Aivalis, Constantine J. (2 Ιανουαρίου 2018). «Reciprocal Vieta-type formulas and some applications». Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography 21 (1): 35–39. doi: .
Παραπομπές Επεξεργασία
- ↑ Βουκούτης, Ναπολέων. Πολυώνυμα. Αθήνα: Gutenberg.
- ↑ Καζαντζής, Θεόδωρος Ν. (1977). Πολυώνυμα. Θεσσαλονίκη.
- ↑ Παπαγιάννης, Ορέστης Β. Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.
- ↑ Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). Πολυώνυμα: Μεθοδολογία. Αθήνα.
- ↑ Ρούτσης, Νίκος (1972). Πολυώνυμα. Αθήνα.
- ↑ Μαρμαρίδης, Νικόλαος-Θεοδόσιος (2021). Βασική Θεωρία Galois. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-618-85370-2-6.