Eleni Menelaou

Έκδοση Gauss

Οι παρατηρήσεις σχετικά με -3 και 5 εξακολουθούν να κατέχουν : -7 είναι ένα υπόλειμμα ( mod p ) αν και μόνο αν p είναι ένα υπόλειμμα ( mod 7 ) , -11 είναι ένα υπόλειμμα ( mod ' 'p ' ') αν και μόνο αν ' ' p ' ' είναι ένα υπόλειμμα ( mod 11 ) , 13 είναι ένα υπόλειμμα ( mod ' ' p ' ') αν και μόνο αν ' ' p ' ' είναι ένα υπόλειμμα ( mod 13 ) , ...

Οι πιο περίπλοκη εμφάνιση κανόνων για τους τετραγωνικούς χαρακτήρες 3 και -5 , που εξαρτώνται από congruences ( mod 12) και ( mod 20 ), αντιστοίχως , είναι απλά αυτά για -3 και 5 εργάζονται με το πρώτο συμπλήρωμα . < blockquote > Για παράδειγμα, για να είναι το -5 ένα υπόλειμμα ( mod ' p ' '), είτε και τα δύο 5 και -1 πρέπει να είναι υπολείμματα ( mod ' p ' ), ή και τα δύο πρέπει να μην έχουν υπόλοιπο:

π.χ. , p πρέπει να είναι ≡ ±1 (mod 5) και ≡ 1 (mod 4) , που είναι το ίδιο πράγμα με το p ≡ 1 ή 9 ( mod 20 ) , ή p πρέπει να είναι ≡ ± 2 mod 5 ' ' και ≡ 3 mod 4 , η οποία είναι η ίδια όπως p ≡ 3 ή 7 ( mod 20 ). Βλέπε Chinese remainder theorem.

Η γενίκευση των κανόνων -3 και 5 είναι η δήλωση του Gauss της τετραγωνική αμοιβαιότητας :

${\text{If }}q\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ then}}$

${\text{the congruence }}x^{2}\equiv p{\pmod {q}}{\text{ is solvable if and only if }}x^{2}\equiv q{\pmod {p}}{\text{ is, but}}$

${\text{If }}q\equiv 3{\pmod {4}}{\text{ then}}$

${\text{the congruence }}x^{2}\equiv p{\pmod {q}}{\text{ is solvable if and only if }}x^{2}\equiv -q{\pmod {p}}{\text{ is.}}$

Οι δηλώσεις αυτές μπορούν να συνδυαστούν:

Έστω q^* = (−1)^(q−1)/2q. Στη συνέχεια η αντιστοιχία x² ≡  p (mod q) είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν x² ≡ q^* (mod p).

Τετραγωνικός πίνακας χαρακτήρων των πρώτων αριθμών

Legend

R	q is a residue (mod p)	q ≡ 1 (mod 4) or p ≡ 1 (mod 4) (or both)
N	q is a nonresidue (mod p)
R	q is a residue (mod p)	both q ≡ 3 (mod 4) and p ≡ 3 (mod 4)
N	q is a nonresidue (mod p)

		q
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
p	3		N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R
	5	N		N	R	N	N	R	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N
	7	N	N		R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N
	11	R	R	N		N	N	N	R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	R	N	N	N	R	R
	13	R	N	N	N		R	N	R	R	N	N	N	R	N	R	N	R	N	N	N	R	N	N	N
	17	N	N	N	N	R		R	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N
	19	N	R	R	R	N	R		R	N	N	N	N	R	R	N	N	R	N	N	R	N	R	N	N
	23	R	N	N	N	R	N	N		R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	N	N	N
	29	N	R	R	N	R	N	N	R		N	N	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R	N	N
	31	N	R	R	N	N	N	R	N	N		N	R	N	R	N	R	N	R	R	N	N	N	N	R
	37	R	N	R	R	N	N	N	N	N	N		R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N
	41	N	R	N	N	N	N	N	R	N	R	R		R	N	N	R	R	N	N	R	N	R	N	N
	43	N	N	N	R	R	R	N	R	N	R	N	R		R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R
	47	R	N	R	N	N	R	N	N	N	N	R	N	N		R	R	R	N	R	N	R	R	R	R
	53	N	N	R	R	R	R	N	N	R	N	R	N	R	R		R	N	N	N	N	N	N	R	R
	59	R	R	R	N	N	R	R	N	R	N	N	R	N	N	R		N	N	R	N	R	N	N	N
	61	R	R	N	N	R	N	R	N	N	N	N	R	N	R	N	N		N	N	R	N	R	N	R
	67	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	R	N	R	N		R	R	N	R	R	N
	71	R	R	N	N	N	N	R	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N		R	R	R	R	N
	73	R	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	N	N	N	N	R	R	R		R	N	R	R
	79	N	R	N	R	R	N	R	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	N	R		R	R	R
	83	R	N	R	R	N	R	N	R	R	R	R	R	N	N	N	R	R	N	N	N	N		N	N
	89	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	R	R	N		R
	97	R	N	N	R	N	N	N	N	N	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R

Έκδοση Legendre

Ένας άλλος τρόπος για να οργανώσετε τα δεδομένα είναι να δούμε ποιοι πρώτοι αριθμοί αφήνουν υπόλοιπα mod , όπως απεικονίζεται στον παραπάνω πίνακα .Η είσοδος στη σειρά p στήλη q είναι R αν q είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο ( mod p ); αν είναι μη-υπολοιπόμενη καταχωρούμε Ν .

Εάν η γραμμή ή η στήλη , ή και τα δύο , είναι ≡ 1 ( mod 4), η είσοδος είναι μπλε ή πράσινο; αν τα δύο σειράς και στήλης είναι ≡ 3 ( mod 4 ) , είναι κίτρινο ή πορτοκαλί.

Οι μπλε και πράσινες συμμετοχές είναι συμμετρικές γύρω από τη διαγώνιο : Η είσοδος για τη σειρά p , στήλη q είναι Κ (αντίστοιχα Ν) αν και μόνο αν η εισόδου σε σειρά q , στήλη p , είναι Κ (αντίστοιχα Ν ) .

Τα κίτρινα και πορτοκαλί , από την άλλη πλευρά , είναι αντισυμμετρικές : Η είσοδος για τη σειρά p , στήλη q είναι Κ (αντίστοιχα Ν ) , αν και μόνο αν η είσοδος σε σειρά q , στήλη p , είναι Ν (αντίστοιχα R ) .

Η παρατήρηση αυτή είναι η δήλωση του Legendre της τετραγωνικής αμοιβαιότητας :

${\text{If }}p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ or }}q\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ (or both), then}}$

$x^{2}\equiv q{\pmod {p}}{\text{ is solvable if and only if }}x^{2}\equiv p{\pmod {q}}{\text{ is solvable.}}$

${\text{If }}p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}},{\text{ then}}$

$x^{2}\equiv q{\pmod {p}}{\text{ is solvable if and only if }}x^{2}\equiv p{\pmod {q}}{\text{ is not solvable.}}$

Είναι μια απλή άσκηση για να αποδείξει ότι οι δηλώσεις του Legendre και του Gauss είναι ισοδύναμες - δεν απαιτεί περισσότερα από ό, τι το πρώτο συμπλήρωμα και τα γεγονότα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό υπολειμμάτων και μη-υπολοίπων.

Σύνδεση με cyclotomy

Οι πρώτες αποδείξεις της τετραγωνική αμοιβαιότητας είναι σχετικά unilluminating . Η κατάσταση άλλαξε όταν ο Gauss χρησιμοποιείται [ [ Gauss συνοψίσω ] ] s για να δείξει ότι το [ [ τετραγωνικό πεδίο ] ] s είναι υποπεδία του [ [ cyclotomic πεδίου ] ] s , και εμμέσως συνάγεται η τετραγωνική αμοιβαιότητα από ένα θεώρημα αμοιβαιότητας για cyclotomic πεδία . Η απόδειξη του πετάχτηκε στη σύγχρονη μορφή του αργότερα αλγεβρικό θεωρητικούς αριθμό . Η απόδειξη αυτή χρησίμευσε ως πρότυπο για τη [ θεωρία [ πεδίο κλάσης ] ] , η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια μεγάλη γενίκευση της τετραγωνικής αμοιβαιότητας

[ [ Robert Langlands ] ] διατύπωσε την [ [ πρόγραμμα Langlands ] ] , η οποία δίνει μια εικαστική μεγάλη γενίκευση της θεωρίας πεδίου τάξη . Έγραψε : < ref > http://www.math.duke.edu/langlands/Three.pdf < / ref >

 Ομολογώ ότι , ως φοιτητής γνωρίζω την ιστορία του θέματος και αγνοώ την σύνδεση με cyclotomy , δεν βρήκα το νόμο ή τα λεγόμενα στοιχειώδη αποδείξεις της προσφυγής . Υποθέτω ότι , αν και δεν θα είχα ( και δεν θα μπορούσε να έχει ) εκφράστηκα με αυτό τον τρόπο που το είδα ως κάτι περισσότερο από ένα μαθηματικό αξιοπερίεργο , ταιριάζει περισσότερο για ερασιτέχνες από την προσοχή των σοβαρών μαθηματικών που τότε ήλπιζε να γίνει . Ήταν μόνο το βιβλίο του Hermann Weyl για την αλγεβρική θεωρία των αριθμών < ref > http://www.amazon.com/Algebraic-Theory-Numbers-Hermann-Weyl/dp/0691059179 < / ref > ότι εκτίμησα ως κάτι περισσότερο . 

Ιστορία και εναλλακτικές καταστάσεις

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αναφέρει το θεώρημα . Λάβετε υπόψη ότι η Euler και Legendre δεν έχουν σημειογραφία αντιστοιχίας του Gauss , ούτε ο Gauss έχει το σύμβολο του Legendre .

Σε αυτό το άρθρο p και q πάντοτε ανατρέχουν σε ξεχωριστούς θετικούς περιττούς πρώτους αριθμούς .

Fermat

Ο Fermat απέδειξε (ή υποστήριξε ότι έχει αποδειχθεί) μια σειρά από θεωρήματα για εκφράζοντας ένα πρώτο αριθμό από μια τετραγωνική μορφή:

$p=x^{2}+\;\,y^{2}{\text{ if and only if }}p=2{\text{ or }}p\equiv 1{\pmod {4}},$

$\!\,p=x^{2}+2y^{2}{\text{ if and only if }}p=2{\text{ or }}p\equiv 1,3{\pmod {8}},$

$\!\,p=x^{2}+3y^{2}{\text{ if and only if }}p=3{\text{ or }}p\equiv 1{\pmod {3}}.$

Ισχυρίστηκε, επίσης,μια απόδειξη σύμφωνα με την οποία, αν ο πρώτος αριθμός p τελειώνει με 7, (σε βάση 10) και ο πρώτος αριθμός q καταλήγει σε 3, και p ≡ q ≡ 3 (mod 4), τότε

$pq=x^{2}+5y^{2}.$

Euler εικαζόμενη, Lagrange και απέδειξε, ότι

${\text{If }}\;\,p\equiv 1,9{\pmod {20}}{\text{ then }}\;\,p=x^{2}+5y^{2},$

$\!\,{\text{if }}p,q\equiv 3,7{\pmod {20}}{\text{ then }}pq=x^{2}+5y^{2}.$

Αποδεικνύοντας ότι αυτές και οι άλλες δηλώσεις του Fermat ήταν ένα από τα πράγματα που οδήγησε τους μαθηματικούς στο θεώρημα της αμοιβαιότητας.

Euler

Μεταφρασμένο σε σύγχρονη σημειογραφία, Euler δήλωσε:

1. Αν q ≡ 1 (mod 4) τότε q είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο (mod p ) αν και μόνο αν p ≡ R (mod q ) , όπου R είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο του Ε .

1. Αν q ≡ 3 (mod 4) τότε q είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο (mod p ) αν και μόνο αν p ≡ ± β ² (mod 4q ), όπου β είναι περιττός και δεν διαιρείται με το Ε .

Αυτό είναι ισοδύναμο με τη τετραγωνική αμοιβαιότητα.

Δεν μπορούσε να το αποδείξει, αλλά απέδειξε το δεύτερο συμπλήρωμα

Legendre και το σύμβολο του

O Fermat απέδειξε ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθμός και ο a είναι ένας ακέραιος,

$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.$

Έτσι, αν το p δεν διαιρεί τοa,

:$a^{(p-1)/2}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.$

Legendre έστω a and A αντιπροσωπεύουν θετικούς πρώτους ≡ 1 (mod 4) και b καιB θετικοί ακέραιοι ≡ 3 (mod 4) και καθορίζει ένα πίνακα οκτώ θεωρημάτων που μαζί είναι ισοδύναμα με την τετραγωνική αμοιβαιότητα:

Theorem	When	it follows that
I	$b^{(a-1)/2}\equiv +1{\pmod {a}}\;$	$a^{(b-1)/2}\equiv +1{\pmod {b}}\;$
II	$a^{(b-1)/2}\equiv -1{\pmod {b}}\;$	$b^{(a-1)/2}\equiv -1{\pmod {a}}\;$
III	$a^{(A-1)/2}\equiv +1{\pmod {A}}\;$	$A^{(a-1)/2}\equiv +1{\pmod {a}}\;$
IV	$a^{(A-1)/2}\equiv -1{\pmod {A}}\;$	$A^{(a-1)/2}\equiv -1{\pmod {a}}\;$
V	$a^{(b-1)/2}\equiv +1{\pmod {b}}\;$	$b^{(a-1)/2}\equiv +1{\pmod {a}}\;$
VI	$b^{(a-1)/2}\equiv -1{\pmod {a}}\;$	$a^{(b-1)/2}\equiv -1{\pmod {b}}\;$
VII	$b^{(B-1)/2}\equiv +1{\pmod {B}}\;$	$B^{(b-1)/2}\equiv -1{\pmod {b}}\;$
VIII	$b^{(B-1)/2}\equiv -1{\pmod {B}}\;$	$B^{(b-1)/2}\equiv +1{\pmod {b}}\;$

Λέει ότι από εκφράσεις της μορφής:

$N^{(c-1)/2}{\pmod {c}}$  (όπου N και c είναι σχετικά πρώτοι) θα καταλήξει τόσο συχνά που θα τους συντομεύσει ως:

$\left({\frac {N}{c}}\right)=\pm 1\equiv N^{(c-1)/2}{\pmod {c}}.$

Αυτό είναι τώρα γνωστή ως Legendre σύμβολο, και ένα ισοδύναμο ορισμός που χρησιμοποιείται σήμερα : για όλους τους ακέραιους a ' ' και όλων των περιττών πρώτων p .

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\text{ if }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\text{ if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\text{ if there is no such }}x.\end{cases}}$

Έκδοση του Legendre για την τετραγωνική αμοιβαιότητα

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}+\left({\frac {q}{p}}\right){\text{ if }}p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ or }}q\equiv 1{\pmod {4}}\\-\left({\frac {q}{p}}\right){\text{ if }}p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$

Παρατήρησε ότι αυτό μπορεί να συνδυαστεί ως εξής:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

Ένας αριθμός των αποδείξεων , ειδικά εκείνες που βασίζονται στο Gauss's Lemma, υπολογίζει ρητώς αυτό τον τύπο.

Οι συμπληρωματικές νομοθετικές χρησιμοποιώντας σύμβολα Legendre

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}=\left\{{\begin{array}{cl}+1&{\text{if}}\;p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if}}\;p\equiv 3{\pmod {4}}\end{array}}\right.$

${\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{array}{cl}+1&{\text{if}}\;p\equiv 1\;{\text{ or }}\;7{\pmod {8}}\\-1&{\text{if}}\;p\equiv 3\;{\text{ or }}\;5{\pmod {8}}\end{array}}\right.}$

Η προσπάθεια του Legendre να αποδείξει την αμοιβαιότητα στηρίζεται σε ένα θεώρημα του:

${\text{Let }}a,b,{\text{ and }}c{\text{ be integers that satisfy}}$

$\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(c,a)=1.\;$

${\text{At least one of }}ab,\;bc,\;ca<0.$   (π.χ. Δεν έχουν όλα το ίδιο πρόσημο)

Π.χ. Το θεώρημα Ι χρησιμοποιείται θέτοντας τα a ' ' ≡ 1 και b ≡ 3 ( mod 4 ) είναι πρώτοι και αν υποτεθεί ότι το < math > ( \ tfrac { b } { a } ) = 1 < / math > και , αντίθετα το θεώρημα , που < math > ( \ tfrac { a } { b } ) = -1 . < / math > Στη συνέχεια, < math > x ^ 2 + ay ^ 2 - BZ ^ 2 = 0 < / math > έχει μια λύση , και λαμβάνοντας congruences ( mod 4 ) οδηγεί σε μια αντίφαση .

$u^{2}\equiv -bc{\pmod {a}},\;v^{2}\equiv -ca{\pmod {b}},{\text{ and }}w^{2}\equiv -ab{\pmod {c}}{\text{ are solvable.}}$

${\text{Then the equation }}ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0{\text{ has a nontrivial solution in integers. }}$

Αυτή η τεχνική δεν λειτουργεί για το Θεώρημα VIII . Ας β ≡ Β ≡ 3 ( mod 4 ) , και να αναλάβουν < math > ( \ tfrac { Β } { b } ) = ( \ tfrac { b } { Β } ) = -1 . < / math > Στη συνέχεια, αν υπάρχει ένας άλλος πρώτος p ≡ 1 ( mod 4 ), έτσι ώστε < math > ( \ tfrac { σ } { b } ) = ( \ tfrac { σ } { β } ) = -1 , < / math > η φερεγγυότητα των < math > Bx ^ 2 + από ^ 2 - PZ ^ 2 = 0 < / math > οδηγεί σε μια αντίφαση ( mod 4 ) . Αλλά ο Legendre ήταν σε θέση να αποδείξει ότι πρέπει να υπάρχει ένας πρώτος p; ήταν αργότερα σε θέση να αποδείξει ότι το μόνο που απαιτείται είναι " λήμμα του Legendre " :

${\text{If }}a\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ is prime there exists a prime }}\beta {\text{ such that }}\left({\frac {a}{\beta }}\right)=-1,\,$

αλλά δεν μπορούσε να αποδείξει ότι είτε . [ [ #Hilbert Σύμβολο | Hilbert σύμβολο (κάτω ) ] ] περιγράφει πώς τεχνικές που στηρίζονται στην ύπαρξη λύσεων σε < math > ax ^ 2 + από ^ 2 + cz ^ 2 = 0 < / math > μπορεί να λειτουργήσει .

Gauss

Part of Article 131 in the first edition (1801) of the Disquisitiones, listing the 8 cases of quadratic reciprocity

Ο Gauss αποδεικνύει πρώτα Ο συμπληρωματικών νόμων . Θέτει η βάση για την επαγωγή , αποδεικνύοντας το θεώρημα για ± 3 και ± 5 . Σημειώνοντας < ref > Gauss , DA , τέχνες 130 </ref> ότι είναι ευκολότερο να αναφέρει για & μείον ; 3 και 5 από ότι είναι για 3 ή -5 , δηλώνει το γενικό θεώρημα , με τη μορφή :

Αν p είναι ένας πρώτος της μορφής 4n&  + 1 και στη συνέχεια p , αλλά αν p είναι της μορφής 4n + 3 Στη συνέχεια - p , είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο ( αντιστοίχως μη-υπόλοιπο . ) του κάθε πρώτου, η οποία , με θετικό πρόσημο , είναι ένα κατάλοιπο του p (αντίστοιχα μη-υπόλοιπο. ) .

Στην επόμενη φράση , αυτός christens το " θεμελιώδες θεώρημα " ( Ο Gauss ποτέ δεν χρησιμοποίησε τη λέξη « αμοιβαιότητα » ) .

Παρουσιάζοντας τη σημειογραφία a R b (αντ. a N b) σημαίνει a είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο ( αντιστοίχως μη υπόλοιπο ) ( mod b ) , και να αφήσει a , a & prime ;, κλπ αντιπροσωπεύουν θετικούς πρώτους ≡ 1 ( mod 4 ) και b , b & πρώτο;, κλπ θετικούς πρώτους ≡ 3 ( mod 4 ) , αυτός ξεσπάει στα ίδια 8 περιπτώσεις όπως o Legendre :

Case	If	Then
1)	±a R a′	±a′ R a
2)	±a N a′	±a′ N a
3)	+a R b −a N b	±b R a
4)	+a N b −a R b	±b N a
5)	±b R a	+a R b −a N b
6)	±b N a	+a N b −a R b
7)	+b R b′ −b N b′	−b′ N b +b′ R b
8)	−b N b′ +b R b′	+b′ R b −b′ N b

το επόμενο άρθρο που γενικεύει αυτό σε ότι είναι βασικά οι κανόνες για την Jacobi σύμβολο (κάτω ) . Αφήνοντας Α , Α &πρώτο ;, κλπ αντιπροσωπεύει οποιουσδήποτε ( πρωταρχική ή σύνθετων ) θετικούς αριθμούς ≡ 1 ( mod 4 ) και Β , Β & πρώτο ;, κλπ θετικούς αριθμούς ≡ 3 ( mod 4 )

Case	If	Then
9)	±a R A	±A R a
10)	±b R A	+A R b −A N b
11)	+a R B	±B R a
12)	−a R B	±B N a
13)	+b R B	−B N b +N R b
14)	−b R B	+B R b −B N b

Όλες αυτές οι περιπτώσεις λαμβάνουν τη μορφή « εάν ένας πρώτος είναι ένα υπόλειμμα ( mod ένα σύνθετο ) , τότε το σύνθετο είναι ένα κατάλοιπο ή μη-υπόλοιπο( mod το βασικό ) , ανάλογα με τις Όλες αυτές οι περιπτώσεις να λάβει τη μορφή « εάν ένα χαρακτηριστικό είναι ένα υπόλειμμα ( mod ένα σύνθετο ) , τότε το σύνθετο είναι ένα κατάλοιπο ή μη-υπόλοιπο ( mod το βασικό ) , ανάλογα με τις congruences ( mod 4 ) " . Αποδεικνύει ότι αυτές απορρέουν από τις περιπτώσεις που ακολουθούν 1 ) - 8 ) . ( mod 4 ) " . Αποδεικνύει ότι αυτές απορρέουν από τις περιπτώσεις 1 ) - 8 ) .

Ο Gauss που απαιτούσε , και ήταν σε θέση να αποδείξει, ένα λήμμα παρόμοιο με εκείνο που απαιτεί ο Legendre:

${\text{If }}p\equiv 1{\pmod {8}}{\text{ is prime, then there exists an odd prime }}q<2{\sqrt {p}}+1{\text{ such that }}\left({\frac {p}{q}}\right)=-1.$

Η απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας είναι η πλήρης επαγωγή(π.χ. υποθέτοντας ότι είναι αληθές για όλους τους αριθμούς λιγότερο απόn επιτρέπει την έκπτωση που ισχύει για n) για κάθε μία από τις περιπτώσεις 1) to 8).

Έκδοση Gauss σε σύμβολα Legendre

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)\;\;{\text{ if }}q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right){\text{ if }}q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$

Αυτά μπορούν να συνδυαστούν :

${\text{Let }}q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q\;\;{\text{ (in other words }}|q^{*}|=|q|{\text{ and }}q^{*}\equiv 1{\pmod {4}}{\text{).}}\;$

${\text{ Then }}\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).$

Μια σειρά από αποδείξεις του θεωρήματος , ειδικά εκείνες που βασίζονται στο άθροισμα Gausss, ή το διάσπαση των πρώτων αριθμών σε αλγεβρικό αριθμό τομέαs, αντλούν αυτή τη φόρμουλα .