Eva Riga

Ο χρήστης συμμετέχει σε δραστηριότητα μετάφρασης λημμάτων, ως φοιτητής του τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ (πληροφορίες).
Ο Α.Μ. του είναι 15606.

Άλλες δηλώσεις Επεξεργασία

Σημειώστε ότι οι δηλώσεις σε αυτό το τμήμα είναι ισοδύναμες με το τετραγωνικό αμοιβαιότητας: αν, για παράδειγμα, η εκδοχή του Euler έχει υποτεθεί , η εκδοχή Legendre-Gauss μπορεί να συναχθεί από αυτό, και το αντίστροφο.

Euler Επεξεργασία

Αυτή η μορφή της τετραγωνική αμοιβαιότητας προέρχεται από την εργασία του Euler:^[1]

{\text{if }}p\equiv \pm q{\pmod {4a}}{\text{ then }}\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {a}{q}}\right).

Ο ισχυρισμός του Euler μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση λήμμα του Gauss.

Gauss Επεξεργασία

Η τέταρτη απόδειξη του ^[2] αποτελείται από την απόδειξη αυτού του θεωρήματος (με τη σύγκριση των δύο τύπων για την αξία των αθροισμάτων Gauss ) και, στη συνέχεια, να την περιορίζουν σε δύο πρώτους αριθμούς:

Έστω a,b, c, ... είναι άνισοι,θετικοί,περιττοί,πρώτοι, του οποίου το προϊόν είναι n, και έστω m ο αριθμός αυτών που είναι ≡ 3 (mod 4)? ελέγξτε εάν n/ a είναι ένα υπόλοιπο ενός, εάν n / b είναι ένα υπόλοιπο β, .... Ο αριθμός αυτών,που δεν είναι υπόλοιπα,θα είναι ζυγός όταν m ≡ 0, 1 (mod 4), και θα είναι περιττός αν m ≡ 2, 3 (mod 4).

Δίνει το παράδειγμα. Έστω a = 3, b = 5, c = 7, και d = 11. Τρεις από αυτούς, 3, 7, και 11 ≡ 3 (mod 4), έτσι ώστε m ≡ 3 (mod 4).

5×7×11 R 3; 3×7×11 R 5; 3×5×11 R 7; and 3×5×7 N 11, έτσι υπάρχει μονός αριθμός,αυτών που δεν είναι υπόλοιπα. .

Eisenstein Επεξεργασία

Eisenstein ^[3], ορίζονται ως εξής:

${\text{If }}p\neq q,p'\neq q',p\equiv p'{\pmod {4}},{\text{ and }}q\equiv q'{\pmod {4}}{\text{ then }}\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).$

Mordell Επεξεργασία

Mordell ^[4] αποδείχθηκε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα με το τετραγωνικό αμοιβαιότητας

${\text{Let }}a,b,{\text{ and }}c{\text{ be integers. Then for every prime }}p{\text{ that divides }}abc,$

${\text{if}}ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {4abc/p}}{\text{ has a nontrivial solution }}$

${\text{so does }}ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {4abc}}.$

Σύμβολο Jacobi Επεξεργασία

Το σύμβολο Jacobi είναι μια γενίκευση του συμβόλου Legendre; Η κύρια διαφορά είναι ότι ο αριθμός πρέπει να είναι θετικός και περιττός, αλλά δεν χρειάζεται να είναι πρώτος. Αν είναι πρώτος, τα δύο σύμβολα συμφωνούν. Υπακούει στους ίδιους κανόνες υπολογισμού ως σύμβολο Legendre. συγκεκριμένα

$\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{(n-1)/2}=\left\{{\begin{array}{cl}1&{\text{if}}\;n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if}}\;n\equiv 3{\pmod {4}}\end{array}}\right.$

${\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}=\left\{{\begin{array}{cl}1&{\text{if}}\;n\equiv 1\;{\text{ or }}\;7{\pmod {8}}\\-1&{\text{if}}\;n\equiv 3\;{\text{ or }}\;5{\pmod {8}}\end{array}}\right.}$

και αν και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί και περιττοί (αυτό μερικές φορές αποκαλείται «νόμος της αμοιβαιότητας Jacobi είναι"):

$\left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}\left({\frac {n}{m}}\right).$

Ωστόσο, εάν το σύμβολο Jacobi είναι 1 και το κάτω άκρο είναι σύνθετος, αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το πάνω άκρο είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο του πυθμένα ένα. Περιπτώσεις του Gauss 9) - 14) το παραπάνω μπορεί να εκφράζεται σε όρους των συμβόλων Jacobi:

$\left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)(M-1)/4}{\Bigg (}{\frac {p}{M}}{\Bigg )},$

και δεδομένου ότι ο p είναι πρώτος, η αριστερή πλευρά του τύπου είναι ένα σύμβολο Legendre, και γνωρίζουμε αν ο Μ είναι ένα υπόλοιπο (mod p ) ή όχι.
Οι τύποι που αναφέρονται στην προηγούμενη παράγραφο ισχύουν για τα σύμβολα Jacobi όσο τα σύμβολα ορίζονται.Ο τύπος Euler μπορεί να γραφτεί

$\left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right){\text{ where }}n{\text{ is an integer and }}m\pm 4an>0.$

για παράδειγμα,
$({\tfrac {2}{7}})=({\tfrac {2}{15}})=({\tfrac {2}{23}})=({\tfrac {2}{31}})\dots =1,$
και 2 είναι ένα υπόλοιπο mod οι πρώτοι 7, 23 και 31: 3² ≡ 2 (mod 7),5² ≡ 2 (mod 23), και 8² ≡ 2 (mod 31), αλλά δύο δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο (mod 5) , οπότε δεν μπορεί να είναι μία (mod 15). Αυτό σχετίζεται με το πρόβλημα Legendre: αν γνωρίζουμε ότι $({\tfrac {a}{m}})=-1$ , γνωρίζουμε ότι ο α είναι ένας αριθμός χωρίς υπόλοιπο,κάθε πρώτος του αριθμητικής σειράς m + 4a, m + 8α,. .., αν υπάρχουν πρώτοι σε αυτή τη σειρά, αλλά αυτό δεν είχε αποδειχθεί εδώ και δεκαετίες ^[5] μέχρι τον Legendre.

${\text{If }}a,b,a'{\text{ and }}b'{\text{ are positive and odd and}}$

$\gcd(a,b)=\gcd(a',b')=1,{\text{ then}}$

${\text{if }}a\equiv a'{\pmod {4}}{\text{ and }}b\equiv b'{\pmod {4}},\;{\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).$

Σύμβολο του Hilbert Επεξεργασία

O νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας μπορεί να διατυπωθεί ως προς το Hilbert σύμβολο $(a,b)_{v}$ όπου a και b είναι οποιοιδήποτε μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί και v παίρνει όλες τις μη τετριμμένες απόλυτες τιμές των ρητών (αρχιμήδειων και των p - adic απόλυτων τιμών για πρώτους π ). Το σύμβολο Hilbert $(a,b)_{v}$ είναι 1 ή και μείον; 1. Ορίζεται να είναι 1 αν και μόνο αν η εξίσωση $ax^{2}+by^{2}=z^{2}$ έχει μια λύση στο σύνολο ολοκλήρωση των ρητών στο v εκτός από $x=y=z=0$ Ο νόμος της αμοιβαιότητας υποστηρίζει ότι Hilbert που $(a,b)_{v}$ , για σταθερές a και b και διαφορετικό v, είναι ένα για όλα, αλλά τελικά πολλά v και το προϊόν της $(a,b)_{v}$ πάνω από όλα τα v είναι 1 (Αυτό τυπικά μοιάζει με το θεώρημα υπόλοιπο από την ανάλυση).
Η απόδειξη του Hilbert μειώνει αισθητά τον έλεγχο μερικών ειδικών περιπτώσεων, και οι μη-τετριμμένες περιπτώσεις,αποδεικνύεται να είναι ισοδύναμο με το κύριο νόμο και των δύο συμπληρωματικών νόμων της τετραγωνική αμοιβαιότητας για το σύμβολο Legendre. Δεν υπάρχει το είδος της αμοιβαιότητας στο νόμο Hilbert αμοιβαιότητας το όνομά του δείχνει απλά την ιστορική πηγή του αποτελέσματος σε τετραγωνική αμοιβαιότητα. Σε αντίθεση με τη τετραγωνική αμοιβαιότητα, η οποία απαιτεί ειδικές συνθήκες (δηλαδή θετικότητα των πρώτων αριθμών που συμμετέχουν) και μια ειδική μεταχείριση από τους πρωταρχικούς 2, ο νόμος της αμοιβαιότητας Hilbert αντιμετωπίζει όλες τις απόλυτες τιμές των ρητών επί ίσοις όροις. Ως εκ τούτου, είναι ένας πιο φυσικός τρόπος έκφρασης της τετραγωνική αμοιβαιότητας με προοπτική γενίκευσης: ο νόμος της αμοιβαιότητας Hilbert επεκτείνεται με πολύ λίγες αλλαγές σε όλους τους παγκόσμιους τομείς και η επέκταση αυτή μπορεί δικαίως να θεωρηθεί ως γενίκευση της τετραγωνικής αμοιβαιότητας σε όλους τους παγκόσμιους τομείς.

↑ Ireland & Rosen, pp 60–61.

↑ Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art", reprinted in Untersuchumgen uber hohere Arithmetik, pp.463–495

↑ Lemmermeyer, Th. 2.28, pp 63–65

↑ Lemmermeyer, Th. 2.28, pp 63–65

↑ By Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1837

[1] Ireland & Rosen, pp 60–61.

[2] Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art", reprinted in Untersuchumgen uber hohere Arithmetik, pp.463–495

[3] Lemmermeyer, Th. 2.28, pp 63–65

[4] Lemmermeyer, Th. 2.28, pp 63–65

[5] By Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1837

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]