Mixalis Tsiourdas

Τετραγωνική αμοιβαιότητας

Το ««Νόμος της αμοιβαιότητας » επαναπροσανατολίζεται εδώ . Για τη φιλοσοφική έννοια που είναι γνωστή ως « ηθική της αμοιβαιότητας » , βλέπε» ανακατευθύνει εδώ. Για Χρυσός κανόνα, δείτε: [[«Νόμος της αμοιβαιότητας » επαναπροσανατολίζεται εδώ . Για τη φιλοσοφική έννοια που είναι γνωστή ως « ηθική της αμοιβαιότητας » , βλέπε (αποσαφήνιση)]].

Στη θεωρία αριθμών,ο νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας είναι ένα θεώρημα για modular αριθμητική που δίνει προϋποθέσεις για την φερεγγυότητα των δευτεροβάθμιων εξισώσεων modulo πρώτους αριθμούς . Υπάρχει ένας αριθμός από αντίστοιχες δηλώσεις του θεωρήματος . Μια έκδοση του νόμου ορίζει ότι

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}$

για p και q περιττός πρώτος αριθμός,και $\left({\frac {p}{q}}\right)$ υποδουλώνει το Legendre σύμβολο.

Αυτός ο νόμος,σε συνδυασμό με τις ιδιότητες του συμβόλου Legendre , σημαίνει ότι κάθε σύμβολο Legendre $(a/p)$ μπορεί να υπολογιστεί. Αυτό καθιστά δυνατό να προσδιοριστεί για κάθε τετραγωνική εξίσωση $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$,όπου p περιττός πρώτος ,αν έχει μια λύση.Ωστόσο , δεν παρέχει καμία βοήθεια για την πραγματική εξεύρεση λύσης. ( Το άρθρο σχετικά με τετραγωνική υπολειμμάτων συζητά αλγόριθμους για αυτό . )

Το θεώρημα ήταν εικασία από τον Euler και Legendre και πρώτα αποδεικνύεται από Gauss. . Αναφέρεται σε αυτό ως το " θεμελιώδες θεώρημα " στο Disquisitiones Arithmeticae και τα χαρτιά , το γράψιμό του

Το θεμελιώδες θεώρημα πρέπει ασφαλώς να θεωρηθεί ως ένα από τα πιο κομψά στο είδος του . (Άρθρο . 151 )

Ιδιαίτερα αναφέρθηκε σε αυτό ως το "χρυσό θεώρημα." Έχει εκδώσει έξι αποδείξεις , και δύο ακόμα βρέθηκαν μεταθάνατον στα χαρτιά του . Υπάρχουν τώρα πάνω από 200 αποδείξεις που δημοσιεύθηκαν.

Η πρώτη ενότητα αυτού του άρθρου δίνει μια ιδιαίτερη περίπτωση των τετραγωνικών αμοιβαιοτήτων,που είναι αντιπροσωπευτική γενική περίπτωση . Η δεύτερη ενότητα δίνει τις συνθέσεις των τετραγωνικών αμοιβαιοτήτων που βρέθηκαν από Legendre και Gauss .

Παράδειγμα Παρακίνησης

Θεωρούμε το πολυώνυμο f(n) = n² − 5 και τις τιμές του για n = 1, 2, 3, 4, ... Οι κύριες παραγοντοποιήσεις αυτών των τιμών δίνονται ως εξής:

n	f(n)		n	f(n)		n	f(n)
1	−4	−22	16	251	251	31	956	22⋅239
2	−1	−1	17	284	22⋅71	32	1019	1019
3	4	22	18	319	11⋅29	33	1084	22⋅271
4	11	11	19	356	22⋅89	34	1151	1151
5	20	22⋅5	20	395	5⋅79	35	1220	22⋅5⋅61
6	31	31	21	436	22⋅109	36	1291	1291
7	44	22⋅11	22	479	479	37	1364	22⋅11⋅31
8	59	59	23	524	22⋅131	38	1439	1439
9	76	22⋅19	24	571	571	39	1516	22⋅379
10	95	5⋅19	25	620	22⋅5⋅31	40	1595	5⋅11⋅29
11	116	22⋅29	26	671	11⋅61	41	1676	22⋅419
12	139	139	27	724	22⋅181	42	1759	1759
13	164	22⋅41	28	779	19⋅41	43	1844	22⋅461
14	191	191	29	836	22⋅11⋅19	44	1931	1931
15	220	22⋅5⋅11	30	895	5⋅179	45	2020	22⋅5⋅101

Ένα εντυπωσιακό χαρακτηριστικό των δεδομένων είναι ότι με τις εξαιρέσεις των 2 και 5,οι πρώτοι αριθμοί που εμφανίζονται ως παράγοντες είναι ακριβώς αυτές με το τελικό ψηφίο 1 ή 9. Ένας άλλος τρόπος διατύπωσης για αυτό είναι ότι ο πρώτος p για τον οποίο υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε n² ≡ 5 (mod p) είναι ακριβώς 2, 5, και εκείνες οι τιμές p οι οποίες είναι ≡ 1 or 4 (mod 5).

Το δίκαιο των τετραγωνικών αμοιβαιότητας δίνει ένα παρόμοιο χαρακτηρισμό των πρώτων διαιρετών του f(n) = n² − c για κάθε ακέραιο c.

Ορολογία , τα δεδομένα , καθώς και δύο δηλώσεις του θεωρήματος

Ένα τετραγωνικό υπόλειμμα (mod n) είναι ένας οποιοσδήποτε αριθμός παραλληλισμού σε ένα τετράγωνο (mod n). Ένα τετραγωνικό υπόλειμμα (mod n) είναι οποιοσδήποτε αριθμός που δεν είναι σύμφωνος με ένα τετράγωνο (mod n). Το επίθετο " τετραγωνική " μπορεί να παραλειφθεί αν το πλαίσιο καθιστά σαφές ότι αυτό συνεπάγεται. Κατά την εργασία modulo πρώτων αριθμών ( όπως σε αυτό το άρθρο ) , είναι σύνηθες να μεταχειριζόμαστε το μηδέν ως ειδική περίπτωση. Με αυτό τον τρόπο, οι ακόλουθες δηλώσεις αληθεύουν:

• Modulo ένα πρώτο αριθμό,υπάρχει ίσος αριθμός των τετραγωνικών καταλοίπων και υπολειμμάτων.

• Modulo έναν πρώτο αριθμό, το προϊόν των δύο τετραγωνικών υπολειμμάτων είναι ένα υπόλειμμα , το προϊόν του υπολείμματος και ένα μη-υπόλοιπο είναι μη-υπόλοιπο , και το προϊόν των δύο μη-υπόλοιπο είναι ένα υπόλειμμα.

Πίνακας τετραγωνικών υπολειμμάτων

Τετράγωνα mod πρώτοι

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
mod 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
mod 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
mod 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
mod 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
mod 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
mod 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
mod 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
mod 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
mod 29	1	4	9	16	25	7	20	6	23	13	5	28	24	22	22	24	28	5	13	23	6	20	7	25	16
mod 31	1	4	9	16	25	5	18	2	19	7	28	20	14	10	8	8	10	14	20	28	7	19	2	18	5
mod 37	1	4	9	16	25	36	12	27	7	26	10	33	21	11	3	34	30	28	28	30	34	3	11	21	33
mod 41	1	4	9	16	25	36	8	23	40	18	39	21	5	32	20	10	2	37	33	31	31	33	37	2	10
mod 43	1	4	9	16	25	36	6	21	38	14	35	15	40	24	10	41	31	23	17	13	11	11	13	17	23
mod 47	1	4	9	16	25	36	2	17	34	6	27	3	28	8	37	21	7	42	32	24	18	14	12	12	14

Αυτός ο πίνακας είναι πλήρης για περιττούς πρώτους λιγότερο από 50. Για να ελέγξετε αν ένας αριθμός m είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod ένας από αυτούς τους πρώτους p βρείτε έναν a ≡ m (mod p) και 0 ≤ a < p. Αν a είναι στη σειρά p, τότε m είναι ένα υπόλειμμα ( mod p ); αν ένας δεν είναι σε σειρά p του πίνακα, τότε το m είναι ένας μη-υπόλοιπος (mod p).

Ο νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας δηλώνει ότι ορισμένα στοιχεία του πίνακα αληθεύουν σε γενικές γραμμές.

Σε αυτό το άρθρο , p και q πάντοτε ανατρέχουν σε ξεχωριστούς θετικούς περιττούς πρώτους αριθμούς .

−1 και το πρώτο συμπλήρωμα

Πρώτα απ 'όλα , για τους πρώτους αριθμούς οι οποίοι είναι -1 τετραγωνικό υπόλοιπο; Εξετάζοντας τον πίνακα , διαπιστώνουμε -1 σε σειρές 5 , 13 , 17 , 29, 37 , και 41 αλλά όχι σε σειρές 3 , 7 , 11, 19 , 23, 31 , 43 ή 47 .

< blockquote > ( - 1 ≡ 2 ( mod 3 ) , & nbsp ? -1 ≡ 4 ( mod 5 ) , & nbsp ? -1 ≡ 10 ( mod 11 ) , & nbsp ? κλπ . ) < / blockquote >

Οι πρώην πρώτων αριθμών είναι όλα ≡ 1 ( mod 4 ) , και η τελευταία είναι όλα ≡ 3 ( mod 4 ) . Αυτό οδηγεί σε

Το πρώτο συμπλήρωμα της τετραγωνικής αμοιβαιότητας :

${\text{The congruence }}x^{2}\equiv 2{\pmod {p}}{\text{ is solvable if and only if }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}}.$

±2 και το δεύτερο συμπλήρωμα

Για ποιούς πρώτους αριθμούς είναι το 2 το τετραγωνικό υπόλοιπο ; Εξετάζοντας τον πίνακα , βρίσκουμε 2 σε σειρές τα 7 , 17 , 23 , 31 , 41 , και 47 , αλλά όχι σε σειρές τα 3 , 5 , 11, 13 , 19 , 29, 37 , ή 43 .

Οι προηγούμενοι πρώτοι αριθμοί είναι όλα ≡ ± 1 ( mod 8 ) , και η τελευταία είναι όλα ≡ ± 3 ( mod 8). Αυτό οδηγεί σε

Το δεύτερο συμπλήρωμα της τετραγωνικής αμοιβαιότητας

${\text{The congruence }}x^{2}\equiv 2{\pmod {p}}{\text{ is solvable if and only if }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}}.$

-2 είναι σε σειρές 3 , 11 , 17, 19 , 41 , 43 , αλλά όχι σε σειρές 5 , 7 , 13 , 23 , 29, 31 , 37 , ή 47. Η πρώτη είναι ≡ 1 ή ≡ 3 ( mod 8 ) , και η τελευταία είναι ≡ 5 ή 7 ≡ ( mod 8).

±3

3 είναι σε σειρές 11 , 13 , 23 , 37 , και 47 , αλλά όχι σε σειρές 5 , 7 , 17, 19 , 29, 31 , 41 , ή 43 .

Ο προηγούμενος είναι ≡ ± 1 ( mod 12 ) και η τελευταία είναι όλα ≡ ± 5 ( mod 12 ) .

-3 Είναι σε σειρές 7 , 13 , 19, 31 , 37 , και 43 αλλά όχι στις σειρές 5 , 11 , 17, 23 , 29, 41 , ή 47. Η πρώτη είναι ≡ 1 ( mod 3 ) και η τελευταία ≡ 2 ( mod 3 ) .

Δεδομένου ότι το μόνο κατάλοιπο ( mod 3 ) είναι 1 , βλέπουμε ότι -3 είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο modulo κάθε πρωταρχικό το οποίο είναι ένα υπόλειμμα ( mod 3 ).

±5

5 είναι στις σειρές 11 , 19 , 29, 31 , και 41 αλλά όχι σε σειρές 3 , 7 , 13 , 17, 23 , 37 , 43 , ή 47 .

Ο προηγούμενος είναι ≡ ± 1 ( mod 5) και η τελευταία είναι ≡ ± 2 ( mod 5).

Δεδομένου ότι τα μόνα υπολείμματα ( mod 5 ) είναι ± 1 , βλέπουμε ότι το 5 είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο modulo κάθε πρωταρχικό το οποίο είναι ένα υπόλειμμα ( mod 5 ) .

-5 είναι σε σειρές 3 , 7 , 23 , 29, 41 , 43 , και 47 αλλά όχι στις σειρές 11 , 13 , 17, 19 , 31 , ή 37. Η πρώτη είναι ≡ 1 , 3 , 7, 9 ( mod 20 ) και η τελευταία είναι ≡ 11 , 13 , 17, 19 ( mod 20 ) .