MylwnasSp

Κυρτή γεωμετρία

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Κυρτή γεωμετρία είναι ο κλάδος της γεωμετρίας που μελετάει τα κυρτά σύνολα, κυρίως στον Ευκλείδειο χώρο. Τα κυρτά σύνολα εμφανίζονται φυσικά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών: την υπολογιστική γεωμετρία, την κυρτή ανάλυση, τη διακριτή γεωμετρία, τη συναρτησιακή ανάλυση, τη γεωμετρία των αριθμών, την ολοκληρωτική γεωμετρία, τον γραμμικό προγραμματισμό, τη θεωρία πιθανοτήτων, κλπ.

Περιεχόμενα

• 1 Κατάταξη
• 2 Ιστορικό σημείωμα
• 3 Δείτε επίσης
• 4 Αναφορές

Κατάταξη

AΣύμφωνα με τη θεματική κατάταξη του 2010 της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, κύριοι κλάδοι του μαθηματικού τομέα Κυρτή και Διακριτή Γεωμετρία είναι: Γενική κυρτότητα, Πολύτοπα και Πολύεδρα, Διακριτή Γεωμετρία.

Επιπλέον αποτελέσματα κατάταξης της Γενική Κυρτότητας στη λίστα που ακολουθεί:

• αξιωματική και γενικευμένη κυρτότητα
• κυρτά σύνολα χωρίς περιορισμούς στις διαστάσεις
• κυρτά σύνολα στους διανυσματικούς τοπολογικούς χώρους
• κυρτά σύνολα σε 2 διαστάσεις (συμπεριλαμβανομένων των κυρτών καμπύλων)
• κυρτά σύνολα σε 3 διαστάσεις (συμπεριλαμβανομένων των κυρτών επιφανειών )
• κυρτά σύνολα σε ν διαστάσεις(συμπεριλαμβανομένων κυρτών υπερεπιφανειών)
• πεπερασμένων διαστάσεων χώρων Banach
• τυχαία κυρτά σύνολα και ολοκληρωτική γεωμετρία
• ασυμπτωτική θεωρία των κυρτών σωμάτων
• προσέγγιση κυρτών συνόλων
• μεταβλητές των κυρτών συνόλων (αστεροειδούς σχήματος, (m, n)-κυρτό, κλπ.)
• Τύπου Helly θεωρήματα και εγκάρσια γεωμετρική θεωρία
• άλλα προβλήματα της συνδυαστικής κυρτότητας
• μήκος, εμβαδόν, όγκος
• μικτοί όγκοι και συναφή θέματα
• ανισότητες και τα προβλήματα ακρότατων
• κυρτές συναρτήσεις και κυρτά προγράμματα
• σφαιρική και υπερβολική κυρτότητα

Η φράση κυρτή γεωμετρία χρησιμοποιείται επίσης στη Συνδυαστική ως το όνομα ενός θεωρητικού μοντέλου των κυρτών συνόλων, αυτό που είναι ισοδύναμο με το antimatroids.

Ιστορικό σημείωμα

Η κυρτή γεωμετρία είναι ένας σχετικά νέος μαθηματικός τομές. Παρά το ότι οι πρώτες γνωστές συνεισφορές στην κυρτή γεωμετρία χρονολογούνται από την αρχαιότητα και μπορούν να εντοπιστούν στα έργα του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη, έγινε ανεξάρτητος κλάδος τωμν μαθηματικών στο τέλος του 19ου αιώνα, κυρίως χάρη στα έργα των Hermann Brunn και Hermann Minkowski σε δυο και τρεις διαστάσεις. Ένα μεγάλο μέρος των αποτελεσμάτων τους γενικεύτηκε σύντομα σε περισσότερες διαστάσεις, και το 1934 ο T. Bonnesen και ο W. Fenchel έδωσαν μια περιεκτική έρευνα της κυρτής γεωμετρίας στον Ευκλείδειο χώρο Rⁿ. Επιπλέον ανάπτυξη της κυρτής γεωμετρίας στον 20ο αιώνα και των σχεσεών της με πολυάριθμους τομείς των μαθηματικών συνοψίζονται στο Εγχειρίδειο της κυρτής γεωμετρίας εκδόσεις P. M. Gruber και J. M. Wills.

Δείτε επίσης

• Λίστα με θέματα κυρτότητας

Αναφορές

Eξειδικευμένα άρθρα στην κυρτή γεωμετρία

• K. Ball, An elementary introduction to modern convex geometry, in: Flavors of Geometry, pp. 1—58, Math. Sci. Res. Inst. Publ. Vol. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, available online.
• M. Berger, Convexity, Amer. Math. Monthly, Vol. 97 (1990), 650—678.
• P. M. Gruber, Aspects of convexity and its applications, Exposition. Math., Vol. 2 (1984), 47—83.
• V. Klee, What is a convex set? Amer. Math. Monthly, Vol. 78 (1971), 616—631.

Μερικά βιβλία σχετικά με την κυρτή γεωμετρία

• T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlin, 1934. English translation: Theory of convex bodies, BCS Associates, Moscow, ID, 1987.
• R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
• P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
• G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach space geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
• R. Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• A. C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• A. Koldobsky, V. Yaskin, The Interface between Convex Geometry and Harmonic Analysis, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

Άρθρα για την ιστορία της κυρτής γεωμετρίας

• W. Fenchel, Convexity through the ages, (Danish) Danish Mathematical Society (1929—1973), pp. 103-116, Dansk. Mat. Forening, Copenhagen, 1973. English translation: Convexity through the ages, in: P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Convexity and its Applications, pp. 120-130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
• P. M. Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen,

in: G. Fischer, et al. (editors), Ein Jahrhundert Mathematik 1890—1990,

pp. 421—455, Dokumente Gesch. Math., Vol. 6, F. Wieweg and Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Freiburg, 1990.

• P. M. Gruber, History of convexity, in: P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A, pp. 1-15, North-Holland, Amsterdam, 1993.

Κυρτή γεωμετρία