Ανάλυση [επεξεργασία]

Το πρόβλημα που παρατηρείται παραπάνω είναι ότι η συνήθης κατευθυντική παράγωγος του διανυσματικού λογισμού δεν συμπεριφέρεται καλά κάτω από τις αλλαγές στο σύστημα συντεταγμένων όταν εφαρμόζεται στα συστατικά των διανυσματικών πεδίων. Αυτό καθιστά πολύ δύσκολο να περιγράψεις το πώς να μεταφράσεις διανυσματικά πεδία με παράλληλο τρόπο, αν πράγματι μια τέτοια έννοια έχει νόημα σε όλα. Υπάρχουν δύο ριζικά διαφορετικού τρόπου επίλυσης αυτού του προβλήματος.

Η πρώτη προσέγγιση είναι να εξετάσεις τι απαιτείται για μια γενίκευση της παραγώγου κατεύθυνσης για να "συμπεριφέρεται καλά» κάτω από συντεταγμένες μεταβάσεις. Αυτή είναι η τακτική που λήφθηκε από την συναλλοίωτη παράγωγο προσέγγιση για συνδέσεις: η καλή συμπεριφορά ταυτίζεται με τη συνδιακύμανση. Εδώ θα σκεφτεί κανείς μία τροποποίηση της παραγώγου κατεύθυνσης κατά ένα ορισμένο γραμμικό φορέα, του οποίου τα συστατικά ονομάζονται σύμβολα Christoffel, τα οποία δεν συμπεριλαμβάνουν παραγώγους στον ίδιο φορέα πεδίου. Η κατευθυντική παράγωγο Duv των συστατικών ενός φορέα v σε ένα φ σύστημα συντεταγμένων στην κατεύθυνση του u αντικαθίστανται από μία συναλλοίωτη παράγωγο:  

uV = DuV + Γ(φ){u,v}

όπου η Γ εξαρτάται από το φ σύστημα συντεταγμένων και είναι διγραμμική στο u και στο v. Ειδικότερα, η Γ δεν περιέχει καμία παράγωγο σε u ή v. Σε αυτή την προσέγγιση, η Γ πρέπει να μετατραπεί με ένα καθορισμένο τρόπο, όταν το σύστημα συντεταγμένων φ αλλάζει σε ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων. Αυτή η μετατροπή δεν είναι τανυστική, δεδομένου ότι περιλαμβάνει όχι μόνο την πρώτη παράγωγο της μετάβασης συντεταγμένων, αλλά και τη δεύτερ παράγωγό της. Το να καθορίζεις τον μετατρεπτικό νόμο της Γ δεν είναι αρκετό για να καθορίσεις τη Γ μοναδικά. Πρέπει να επιβάλλονται κάποιες άλλες προϋποθέσεις ομαλοποίησης, συνήθως ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας υπό εξέταση. Στη Riemann γεωμετρία, ο σύνδεσμος Levi-Civita απαιτεί συμβατότητα των συμβόλων Christoffel με την μετρική (καθώς και ένα συγκεκριμένο όρο συμμετρία). Με αυτές τις ομαλοποιήσεις, η σύνδεση είναι μοναδικά ορισμένη.

Η δεύτερη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιήσουμε ομάδες Lie για να προσπαθήσουμε να συλλάβουμε κάποιο απομεινάρι της συμμετρίας στο χώρο. Αυτή είναι η προσέγγιση των συνδέσμων Cartan. Το παραπάνω παράδειγμα χρησιμοποιώντας περιστροφές για να καθορίσουμε την παράλληλη μεταφορά των φορέων στη σφαίρα είναι πάρα πολύ σε αυτό το πνεύμα.

Πιθανές προσεγγίσεις [επεξεργασία]

  • Μία μάλλον άμεση προσέγγιση είναι να καθορίσετε τον τρόπο μια συναλλοίωτη παράγωγο να λειτουργεί σχετικά με τα στοιχεία της μονάδας των διανυσματικών πεδίων ως διαφορικός τελεστής. Γενικότερα, μια παρόμοια προσέγγιση ισχύει και για τις συνδέσεις σε κάθε δέσμη φορέα.
  • Ο παραδοσιακός συμβολισμός του δείκτης προσδιορίζει τη σύνδεση με τα συστατικά' δείτε τα σύμβολα Christoffel. (Σημείωση: αυτό έχει τρεις δείκτες, αλλά δεν είναι ένας τανυστής).
  • Σε ψευδο-Riemannian και Riemannian γεωμετρία ο σύνδεσμος Levi-Civita είναι μια ειδική σύνδεση που σχετίζεται με το μετρικό τανυστή.
  • Αυτά είναι παραδείγματα των συγγενικών συνδέσμων. Υπάρχει επίσης μια έννοια του προβολικού συνδέσμου, του οποίου η Schwarzian παράγωγος σε πολύπλοκες αναλύσεις είναι ένα παράδειγμα. Γενικότερα, τόσο οι συγγενικοί όσο και οι προβολικοί σύνδεσμοι είναι τύποι Cartan συνδέσμων.
  • Χρησιμοποιώντας κύριες δέσμες, ο σύνδεσμος μπορεί να πραγματοποιηθεί ως Lie αλγεβρικά-αποτιμημένη διαφορική μορφή. Ανατρέξτε στην ενότητα Σύνδεσμος (κύρια δέσμη).
  • Μια προσέγγιση των συνδέσμων που κάνει άμεση χρήση της έννοιας της μεταφοράς των «δεδομένων» (όποια και αν είναι) είναι οι σύνδεσμοι Ehresmann.
  • Η πιο αφηρημένη προσέγγιση μπορεί να είναι εκείνη που προτείνεται από τον Alexander Grothendieck, όπου ένας σύνδεσμος Grothendieck θεωρείται ως ένα καθοδικό δεδομένο από απειροελάχιστες γειτονιές της διαγωνίου΄ δείτε (Osserman 2004).