Held group

Στην περιοχή της σύγχρονης άλγεβρας γνωστή και ως θεωρία ομάδων, η ομάδα Held είναι σποραδική απλή ομάδα της τάξης

2¹⁰ · 3³ · 5² · 7³ · 17 = 4030387200

≈ 4×10⁹.

Ιστορία Επεξεργασία

Αυτή είναι μια από τις 26 σποραδικές ομάδες και βρέθηκε από τον Dieter Held (1969a, 1969b) κατά τη διάρκεια της έρευνας απλών ομάδων που περιέχουν μια συνάρτηση με κανονικοποιητή ισόμορφο με μια Mathieu ομάδα M₂₄. Μια δεύτερη ομάδα είναι η γραμμική ομάδα L₅(2). Η ομάδα είναι η τρίτη πιθανή, και η κατασκευή της ολοκληρώθηκε από τους Τζον Μακέι και Graham Higman.

Η εξωτερική ομάδα αυτομορφισμών έχει τάξη 2 και ο πολλαπλασιαστής Schur είναι τετριμμένος.

Αναπαραστάσεις Επεξεργασία

Το μικρότερο συγκρότημα που εμφανίζεται έχει διάσταση 51 * υπάρχουν δύο τέτοιες αναπαραστάσεις που μάχεται η μία την άλλη.

Αυτό κανονικοποιεί ένα στοιχείο τάξης 7 το Monster group. Ως αποτέλεσμα, ο πρώτος αριθμός 7 διαδραματίζει έναν ιδιαίτερο ρόλο στην θεωρία της ομάδας, για παράδειγμα, η μικρότερη εκπροσώπηση ομάδας πάνω από κάθε σώμα είναι μια αναπαράσταση με διάσταση 50 πάνω από σώμα με 7 στοιχεία και ενεργεί φυσικά σε ένα διάνυσμα φορέα της άλγεβρα πάνω από το πεδίο με 7 στοιχεία.

Η μικρότερο αναπαράσταση μετάθεσης είναι βαθμίδας δράσης 5 για 2058 σημεία με σημείο σταθεροποιητή Sp₄(4):2.

Η ομάδα αυτομορφισμών He:2 της ομάδας Held είναι μια υποομάδα της Fischer ομάδα Fi24.

Generalized Monstrous Moonshine Επεξεργασία

Οι Conway και Norton πρότειναν το 1979 στο έγγραφο τους ότι η monstrous moonshine δεν περιορίζεται στο μόνο στο monster , αλλά ότι παρόμοια φαινόμενα μπορούν να βρεθούν και τις άλλες ομάδες. Η Βασίλισσα Larissa και άλλοι στη συνέχεια ανακάλυψαν ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει επεκτάσεις Hauptmoduln κάνοντας απλούς συνδυασμούς της διάστασης των σποραδικών ομάδων. Για τον He, η σχετική McKay-Thompson σειρά $T_{7A}(\tau )$ , όπου μπορεί κανείς να ορίσει το σταθερό όρο a(0) = 10 ( A007264),

{\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=T_{7A}(\tau )+10\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}{\big )}^{2}+7{\big (}{\tfrac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{2}{\Big )}^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}

και η(τ) είναι η Dedekind eta συνάρτηση.

Παρουσίαση Επεξεργασία

Μπορεί να ορισθεί σύμφωνα με τις γεννήτριες α και β οι σχέσεις

a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.

Μέγιστη υποομάδες Επεξεργασία

Butler (1981) βρήκε το 11 conjugacy τάξεις της μέγιστης υποομάδες της Είναι ως εξής:

S₄(4):2
2².L₃(4).S₃
2^{και 6}:3.S₆
2^{και 6}:3.S₆
2¹⁺⁶.L₃(2)
7²:2.L₂(7)
3.S₇
7¹⁺²:(3 × S₃)
S₄ × L₃(2)
7:3 × L₃(2)
5²:4Α₄

Αναφορές Επεξεργασία

Butler, Gregory (1981), «The maximal subgroups of the sporadic simple group of Held», Journal of Algebra 69 (1): 67–81, doi:10.1016/0021-8693(81)90127-7, ISSN 0021-8693, http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(81)90127-7
Held, D. (1969a), «Some simple groups related to M₂₄», στο: Brauer, Richard; Shah, Chih-Han, επιμ., Theory of Finite Groups: A Symposium, W. A. Benjamin
Held, Dieter (1969b), «The simple groups related to M₂₄», Journal of Algebra 13: 253–296, doi:10.1016/0021-8693(69)90074-X
Ryba, A. J. E. (1988), «Calculation of the 7-modular characters of the Held group», Journal of Algebra 117 (1): 240–255, doi:10.1016/0021-8693(88)90252-9