Ανισότητα Ποποβίτσιου για τη Διακύμανση

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Ποποβίτσιου (αναφέρεται και ως ανισότητα Popoviciu) αφορά μία οποιαδήποτε πραγματική τυχαία μεταβλητή $X$ η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα $[m,M]$, και λέει ότι η διακύμανσή της $\operatorname {Var} (X)$ φράζεται ως

$\operatorname {Var} (X)\leq \left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}$.

Απόδειξη

Έστω $\mu =\operatorname {E} (X)$ η αναμενόμενη τιμή της $X$. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X'=X-\mu$ η οποία έχει $\operatorname {E} (X')=0$ και $\operatorname {Var} (X')=\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X')^{2})$.

Επίσης, ισχύει ότι η $X'$ είναι φραγμένη ως εξής $m'=m-\mu \leq X'\leq M-\mu =M'$. Επομένως, $X'-m'\geq 0$ και $M-X'\geq 0$ και συνεπώς

$0\leq \operatorname {E} ((M'-X')\cdot (X'-m'))$.

Επεκτείνοντας το δεξί μέλος, από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

$0\leq -M'm'+\operatorname {E} (X')\cdot (M'-m')-\operatorname {E} ((X')^{2})=-M'm'-\operatorname {E} ((X')^{2})$.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X')=\operatorname {E} ((X')^{2})\leq -M'm'$.

(1)

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για δύο μεταβλητές $a,b$ δίνει ότι

$ab\leq \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}$.

Για $a=M'=M-\mu$ και $b=-m'=-(m-\mu )$, λαμβάνουμε ότι

$-M'm'\leq \left({\frac {M-\mu -(m-\mu )}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}$.

Συνδυάζοντας με την (1), έχουμε την ζητούμενη ανισότητα

$\operatorname {Var} (X)\leq \left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}$.

Ισότητα

Η ανισότητα ισχύει για ισότητα όταν $\Pr(X=M)=\Pr(X=m)=1/2$.

Απόδειξη  

Η διακύμανση δίνεται από τον τύπο

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}={\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {M^{2}}{2}}-\left({\frac {m+M}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}+{\frac {M^{2}}{4}}-{\frac {2mM}{4}}=\left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}.$

Παραλλαγές

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται στην εργασία του Τιβέριου Ποποβίτσιου το 1935. Έκτοτε διάφορες παραλλαγές και γενικεύσεις έχουν παρουσιαστεί.

Η εργασία του Γκραςς δίνει την εξής γενίκευση για δύο τυχαίες μεταβλητές $X\in [m_{1},M_{1}]$ και $Y\in [m_{2},M_{2}]$,

$\operatorname {Cov} (X,Y)\leq {\frac {(M_{1}-m_{1})\cdot (M_{2}-m_{2})}{4}}$

όπου $\operatorname {Cov} (X,Y)$ είναι η συνδιακύμανση των $X$ και $Y$. Για $X=Y$, λαμβάνουμε την ανισότητα Ποποβίτσιου.

Ο Μπάτια και ο Ντέιβις παρουσίασαν την εξής γενίκευση

$\operatorname {Var} (X)\leq \operatorname {E} ((X-m)\cdot (M-X))$,

η οποία προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.