Ανισότητα Σάμιουελσον

ανισότητα που σχετίζει το μέση τιμή και την τυπική απόκλιση ενός δείγματος

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η ανισότητα Σάμιουελσον (αναφέρεται και ως ανισότητα Samuelson) λέει ότι για κάθε , ισχύει ότι[1]

όπου είναι η δειγματική μέση τιμή και είναι η δειγµατική διακύμανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα .

Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

Απόδειξη

Επεξεργασία

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.[2]

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για  . Θεωρούμε τα διανύσματα   και  . Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι

 

Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από

 

Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από

 

Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε

 .

Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,

 ,

και προσθέτοντας τον όρο   και στα δύο μέλη,

 .

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

 

Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι

 .

Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ

Επεξεργασία

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση  . Για κάθε τυχαία μεταβλητή   η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε  ,

 .

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή   για την οποία   για κάθε  . Τότε ισχύει ότι   και  . Για   η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι

 

Επομένως, με πιθανότητα   (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί  ) ισχύει ότι,

 

που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε  ,

 

Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού  , αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

Γενικεύσεις

Επεξεργασία

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.[3][4][5]

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Samuelson, Paul A. (Δεκεμβρίου 1968). «How Deviant Can You Be?». Journal of the American Statistical Association 63 (324): 1522–1525. doi:10.2307/2285901. https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1968-12_63_324/page/1522. 
  2. Arnold, Barry C. (Φεβρουαρίου 1974). «Schwarz, Regression, and Extreme Deviance». The American Statistician 28 (1): 22–23. doi:10.1080/00031305.1974.10479058. https://archive.org/details/sim_american-statistician_1974-02_28_1/page/22. 
  3. Jensen, Shane Tyler. The Laguerre-Samuelson inequality with extensions and applications in statistics and matrix theory (Διδακτορική διατριβή). McGill University. 
  4. Wolkowicz, Henry; Styan, George P.H. (Αυγούστου 1979). «Extensions of Samuelson's Inequality». The American Statistician 33 (3): 143–144. doi:10.1080/00031305.1979.10482683. https://archive.org/details/sim_american-statistician_1979-08_33_3/page/143. 
  5. Jensen, Shane T.; Styan, George P. H. (1999). «Some Comments and a Bibliography on the Laguerre-Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory». Analytic and Geometric Inequalities and Applications: 151–181. doi:10.1007/978-94-011-4577-0_10.