Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

ανισότητα για χώρους με εσωτερικό γινόμενο

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ή ανισότητα Κωσύ-Μπουνιακόφσκι-Σβαρτς (αναφέρεται και ως ανισότητα Cauchy-Schwarz ή ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) δίνει ότι σε οποιοδήποτε πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο και με εσωτερικό γινόμενο , για κάθε [1]:8[2]:19,28[3]:157[4]:66

όπου , και η απόλυτη τιμή του . Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμικά.

Η ανισότητα ισχύει για κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες του εσωτερικού γινομένου και επομένως δίνει ως πόρισμα πολλές ανισότητες. Για παράδειγμα, για και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο[5]:32[6]:198[7]:83

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε και ισχύει ότι

Διατύπωση

Επεξεργασία

Μία συνάρτηση   είναι εσωτερικό γινόμενο ενός διανυσματικού χώρου   με σώμα   (για   ή  ), αν ικανοποιεί τις εξής τρεις συνθήκες:

  •   για κάθε   με  .
  •   για κάθε  .
  •   για κάθε   και  .

H ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε  

 

όπου   και   και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα   και   είναι συγγραμικά, δηλαδή   για κάποιο  .

Απόδειξη

Επεξεργασία

Υπάρχουν πολλές αποδείξεις για αυτή την ανισότητα.[1]: 12-16  Παρακάτω δίνεται μία απόδειξη που δουλεύει μόνο για πραγματικούς χώρους και μία που δουλεύει για κάθε διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.

Απόδειξη για πραγματικούς χώρους

Επεξεργασία

Έστω  . Θεωρούμε το διάνυσμα   για τυχόν  . Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

 .

Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

 

Όταν   (δηλαδή όταν  ) τo δεξί μέλος είναι ένα τριώνυμο του   και για να είναι πάντα μη-αρνητικό πρέπει να έχει διακρίνουσα  . Επομένως,

 .

Αναδιατάσσοντας και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη,

 ,

που είναι η ζητούμενη ανισότητα. Επομένως, μένει να ελέγξουμε την περίπτωση  , η οποία προκύπτει άμεσα καθώς και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν.

Γενική απόδειξη

Επεξεργασία

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι για κάθετα διανύσματα  , δηλαδή με  , ισχύει ότι

 

Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς για κάθε  . Αν  , τότε   και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν, επομένως ισχύει άμεσα. Διαφορετικά, θεωρούμε το διάνυσμα

 

Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο  , καθώς

 

Επομένως,

 

 

 

 

 

(1)

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα

 

Επίσης, η ισότητα από την (1) ισχύει αν και μόνο αν,   δηλαδή ανν

 ,

δηλαδή ανν τα διανύσματα είναι συγγραμικά.

Πορίσματα

Επεξεργασία

Τριγωνική ανισότητα

Επεξεργασία

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει την τριγωνική ανισότητα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο.[2]: 19  Θεωρούμε  , τότε

 

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό   το πραγματικό του μέρος είναι μικρότερο από την απόλυτη τιμή του,  . Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

 

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καθώς είναι μη-αρνητικά, λαμβάνουμε

 

Ειδικές περιπτώσεις

Επεξεργασία

Ευκλείδειος χώρος

Επεξεργασία

Για το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο

 

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε   και   ισχύει ότι

 

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Επεξεργασία

Για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων   που είναι ολοκληρώσιμες στο   που ορίζεται ως

 

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι[8]:Ανισότητα (C), σελ. 4[7]: 91 

 

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται ως ανισότητα Μπουνιακοφκι-Σβαρτς.

Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Επεξεργασία

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου που λέει ότι για κάθε  

 

μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση της ανισότητας Κωσύ-Σβρατς.[9]:Θεώρημα 17, σελ.457-459[1]: 19-24 

Εφαρμογές

Επεξεργασία

Θεωρία πιθανοτήτων

Επεξεργασία

Στην θεωρία πιθανοτήτων, για δύο τυχαίες μεταβλητές  , η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι[10]:187-188[11]:242[12]:64-65

 

με την ισότητα να ισχύει αν   για κάποια  .

Εφαρμόζοντας την ανισότητα αυτή στις τυχαίες μεταβλητές   και  , λαμβάνουμε ότι ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί[13]

 

καθώς

 

Γεωμετρία

Επεξεργασία

Στον Ευκλείδειο χώρο  , για δύο διανύσματα   και   την γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, ισχύει ότι

 .

Σε   η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων   ορίζεται από τον παραπάνω τύπο. Δηλαδή η γωνία   μεταξύ του   και   ορίζεται ως[2]: 28 [3]: 157 

 .

Για να έχει νόημα αυτός ο ορισμός, πρέπει

 

το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.

Η ανισότητα για το   και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο εμφανίζεται σε εργασία του Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.[9]: Θεώρημα 16, σ. 455  Η ανισότητα για τα ολοκληρώματα εμφανίζεται με την μοντέρνα της μορφή σε εργασία του Μπουνιακόφσκι.[8]: Ανισότητα (C), σελ. 4  Η ανισότητα για δύο ολοκληρώματα εμφανίζεται σε εργασία του Χέρμαν Σβαρτς και κάνει χρήση της απόδειξης που γενικεύεται για κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.[14] Διάφορες εργασίες κοιτάνε την ιστορία αυτής της ανισότητας και μελετούν τις γενικεύσεις της.[7]: Κεφάλαιο 4 [15][16]

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 1,2 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780511817106. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Cowley, S. J. (2010). «Mathematical Tripos: IA Vectors & Matrices» (PDF). Cambridge University. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022. 
  3. 3,0 3,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  4. Αναστόπουλος, Χάρις. «Κβαντική Θεωρία» (PDF). Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022. 
  5. Kolmogorov, A. N. (1970). Introductory real analysis. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61226-3. 
  6. Zeitz, Paul (1999). The art and craft of problem solving. New York: John Wiley. ISBN 0-471-13571-2. 
  7. 7,0 7,1 7,2 Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7. 
  8. 8,0 8,1 Bunyakovsky, Viktor (1859). «Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies». Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 6. http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf. 
  9. 9,0 9,1 Cauchy, A.-L. (1821). «Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités». Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377. 
  10. Casella, George· Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference (2η έκδοση). Cengage Learning. ISBN 978-81-315-0394-2. 
  11. Feller, William (1950). An introduction to probability theory and its applications Volume I (3η έκδοση). Wiley. 
  12. Grimmett, Geoffrey (2001). Probability and random processes (3η έκδοση). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857222-0. 
  13. Κολουντζάκης, Μ. «Βίντεο 2: Ανισότητα Cauchy-Schwarz. Συντελεστής συσχέτισης δύο ΤΜ». Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022. 
  14. Schwarz, H. A. (1888). «Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung». Acta Societatis Scientiarum Fennicae XV: 318. http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf. 
  15. Dragomir, S. S.; Sofo, A. (2008). «On some inequalities of Cauchy-Bunyakovsky type and applications». Tamkang Journal of Mathematics 39 (4): 291-301. 
  16. Dragomir, S. S. (2003). «A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities». Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/010_03_JIPAM/010_03.pdf.