Δευτεροβάθμια εξίσωση

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση (ή τετραγωνική εξίσωση ή εξίσωση δεύτερου βαθμού) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό δύο. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,$

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

$\alpha \neq 0$.

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x², το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad$ στη μορφή $(ax+b)^{2}=c$ ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.

Αρχικά εξετάζουμε τους όρους με x² και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)$

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

$(1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)$

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

$(2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)$

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:

$(3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)$

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)$

Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

$(4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)$

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:

$(6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)$

Από την $(7)$ προκύπτει ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το $+{\sqrt {\Delta }}$ και μία που περιέχει το $-{\sqrt {\Delta }}.$ Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας $\Delta ,$ διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

• Αν $\Delta >0$, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:

$x_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}$

$x_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}$

• Αν $\Delta =0$, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:

$x_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}$

• Αν $\Delta <0$, τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως $\Delta =i^{2}|\Delta |$, όπου $i$ η φανταστική μονάδα με $i^{2}:=-1$ και $|\Delta |$ η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:

$x_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}$

$x_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}$

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει $\Delta \geq 0$, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα $\Delta$ (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του Βιετά

Οι τύποι του Βιετά δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

${\textstyle x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}$

και

$x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}$

Αν συμβολίσουμε με $S$ το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με $P$ το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

$x^{2}-Sx+P=0\$

όπου

$S=x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}$

και

$P=x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}$

Δείτε επίσης

• Τριώνυμο
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Εξίσωση

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Quadratic equation στο Wikimedia Commons
• Διαδραστική εφαρμογή για την λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από το γράφημα
• Διαδραστική εφαρμογή για την αραβική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού
• Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού

Ελληνικά άρθρα

• Κωστοπούλου, Καλλιόπη; Καρκαζής, Γιάννης (Οκτώβριος 2020). «Στιγμιότυπα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: από τη Βαβυλώνα στη σύγχρονη εποχή». Ευκλείδης Α΄ (118): 20-26. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_118_EYKLEIDHS_2020.pdf.