Άνοιγμα κυρίου μενού

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Μερικές φορές αναφέρεται και ως τετραγωνική εξίσωση.

Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνουΕπεξεργασία

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση   στη μορφή   ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.


Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με x2 και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:

 

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

 

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

 

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:

 


Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα:  


Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

 

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:

 


Από την   προκύπτει, ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το   και μία που περιέχει το   Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας   διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

  • Αν  , τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
 
 
  • Αν  , τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:
 
  • Αν  , τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως  , όπου   η φανταστική μονάδα με   και   η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα, η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:
 
 


Από τα παραπάνω συνάγεται, ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει  , επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα   (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του ΒιέτΕπεξεργασία

Οι τύποι του Βιέτ[1] ( Φρανσουά Βιέτ, François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

 

και

 

Αν συμβολίσουμε με   το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με   το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

 

όπου

 

και

 



  1. Ανδρεαδάκης κ.α., Σ. (1991). Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 90.