Απόδειξη χωρίς λόγια

Στα μαθηματικά, μια απόδειξη χωρίς λόγια (ή οπτική απόδειξη) είναι μια απεικόνιση μιας ταυτότητας ή μιας μαθηματικής δήλωσης που μπορεί να αποδειχθεί ως αυτονόητη (προφανή) με ένα διάγραμμα, χωρίς κανένα συνοδευτικό επεξηγηματικό κείμενο. Τέτοιες αποδείξεις μπορούν να θεωρηθούν πιο κομψές από τις τυπικές ή μαθηματικά αυστηρές αποδείξεις, λόγω της αυτονόητης φύσης τους.^[1] Όταν το διάγραμμα δείχνει μια συγκεκριμένη περίπτωση μιας γενικής δήλωσης, για να είναι απόδειξη, πρέπει να είναι γενικεύσιμη.

Μια απόδειξη χωρίς λόγια δεν είναι το ίδιο με μια μαθηματική απόδειξη, επειδή παραλείπει τις λεπτομέρειες του λογικού επιχειρήματος που επεξηγεί. Ωστόσο, μπορεί να προσφέρει πολύτιμες διαισθήσεις στον θεατή που μπορούν να τον βοηθήσουν να διατυπώσει ή να κατανοήσει καλύτερα μια πραγματική απόδειξη.

Παραδείγματα

Μια απόδειξη χωρίς λόγια για το θεώρημα του αθροίσματος περιττών αριθμών.

Άθροισμα περιττών αριθμών

Το θεώρημα ότι το άθροισμα όλων των θετικών περιττών αριθμών μέχρι το 2n−1 είναι τέλειο τετράγωνο — πιο συγκεκριμένα, το τέλειο τετράγωνο n² — μπορεί να δειχθεί με μια απόδειξη χωρίς λόγια.^[2]

Σε μια γωνία ενός πλέγματος, βάζουμε ένα τετράγωνο που αντιπροσωπεύει το 1, το πρώτο τετράγωνο. Αυτό μπορεί να καλυφθεί στις δύο πλευρές με μια λωρίδα τριών τετραγώνων (ο επόμενος περιττός αριθμός) για να δημιουργήσει ένα 2 × 2 τετράγωνο: δηλαδή το 4, το δεύτερο τετράγωνο. Προσθέτοντας άλλα πέντε τετράγωνα δημιουργείται ένα 3 × 3 τετράγωνο: δηλαδή το 9, το τρίτο τετράγωνο. Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον.

Απόδειξη αναδιάταξης του Πυθαγορείου θεωρήματος. Το γκρίζο εμβαδόν παραμένει σταθερό πριν και μετά την αναδιάταξη των τριγώνων: στα αριστερά είναι ίσο με c² και στα δεξιά με a²+b².

Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ότι $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , μπορεί να αποδειχθεί χωρίς λόγια.^[3]

Μια μέθοδος για να γίνει αυτό είναι να τοποθετήσουμε μέσα σε ένα μεγάλο τετράγωνο, με πλευρές μήκους $a+b$ , τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα πλευρών $a$ , $b$ και $c$ στις γωνίες του, έτσι ώστε ο χώρος στη μέση να είναι ένα τετράγωνο με εμβαδόν $c^{2}$ . Τα τέσσερα τρίγωνα μπορούν να αναδιαταχθούν μέσα στο μεγάλο τετράγωνο ώστε να χωρίσουν τον υπόλοιπο χώρο του σε δύο τετράγωνα με πλευρές μήκους $a^{2}$ και $b^{2}$ .^[4]

Ανισότητα Γένσεν

Μια γραφική απόδειξη της ανισότητας του Γένσεν.

Η ανισότητα του Γένσεν μπορεί να αποδειχθεί γραφικά. Μια διακεκομμένη καμπύλη κατά μήκος του άξονα X είναι η υποθετική κατανομή του X, ενώ μια διακεκομμένη καμπύλη κατά μήκος του άξονα Y είναι η αντίστοιχη κατανομή του Y. Η κυρτή απεικόνιση Y(X) "τεντώνει" όλο και περισσότερο την κατανομή για αυξανόμενες τιμές του X.^[5]

Σύγκριση με τις τυπικές αποδείξεις

Για να γίνει αποδεκτή μια απόδειξη από τη μαθηματική κοινότητα, πρέπει λογικά να δείξει πώς η δήλωση που σκοπεύει να αποδείξει προκύπτει πλήρως και αναπόφευκτα από ένα σύνολο αξιωμάτων.^[6] Μια απόδειξη χωρίς λόγια μπορεί να συνεπάγεται ένα τέτοιο επιχείρημα, αλλά δεν το κάνει άμεσα, επομένως δεν μπορεί να αντικαταστήσει μια επίσημη απόδειξη όταν απαιτείται.^[7]^[8] Αντίθετα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν αποδείξεις χωρίς λόγια ως εικονογραφήσεις και βοηθήματα διδασκαλίας για ιδέες που έχουν ήδη αποδειχθεί τυπικά.^[9]

Δείτε επίσης

Φιλοσοφία των μαθηματικών

Σημειώσεις

↑ Dunham 1994, σελ. 120
↑ Dunham 1994, σελ. 121
↑ Nelsen 1997, σελ. 3
↑ Benson, Donald.
↑ McShane, E. J. (1937), «Jensen's Inequality», Bulletin of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 43 (8): 527, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
↑ Lang, Serge (1971). Basic Mathematics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. σελ. 94. We always try to keep clearly in mind what we assume and what we prove. By a 'proof' we mean a sequence of statements each of which is either assumed, or follows from the preceding statements by a rule of deduction, which is itself assumed.
↑ Benson, Steve· Addington, Susan (6 Οκτωβρίου 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (Illustrated έκδοση). Corwin Press. σελ. 78. ISBN 9781412905206. Proofs without words are not really proofs, strictly speaking, since details are typically lacking.
↑ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th έκδοση). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. σελ. 138. ISBN 978-0-914098-91-1. Basing the argument on a geometric picture is not a proof, however...
↑ Benson, Steve· Addington, Susan (6 Οκτωβρίου 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (Illustrated έκδοση). Corwin Press. σελ. 78. ISBN 9781412905206. However, since most proofs without words are visual in nature, they often provide a reminder or hint of what's missing.

Αναφορές

Dunham, William (1994), The Mathematical Universe, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3, https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh
Nelsen, Roger B. (1997), Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, σελ. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
Nelsen, Roger B. (2000), Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America, σελ. 142, ISBN 0-88385-721-9, https://archive.org/details/proofswithoutwor0000nels/page/142
Gulley, Ned (March 4, 2010), Shure, Loren, επιμ., Nicomachus's Theorem, Matlab Central, http://blogs.mathworks.com/loren/2010/03/04/nichomachuss-theorem/ .

[dunham120-1] Dunham 1994, σελ. 120

[dunham121-2] Dunham 1994, σελ. 121

[3] Nelsen 1997, σελ. 3

[4] Benson, Donald.

[5] McShane, E. J. (1937), «Jensen's Inequality», Bulletin of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 43 (8): 527, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8

[6] Lang, Serge (1971). Basic Mathematics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. σελ. 94. We always try to keep clearly in mind what we assume and what we prove. By a 'proof' we mean a sequence of statements each of which is either assumed, or follows from the preceding statements by a rule of deduction, which is itself assumed.

[7] Benson, Steve· Addington, Susan (6 Οκτωβρίου 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (Illustrated έκδοση). Corwin Press. σελ. 78. ISBN 9781412905206. Proofs without words are not really proofs, strictly speaking, since details are typically lacking.

[8] Spivak, Michael (2008). Calculus (4th έκδοση). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. σελ. 138. ISBN 978-0-914098-91-1. Basing the argument on a geometric picture is not a proof, however...

[9] Benson, Steve· Addington, Susan (6 Οκτωβρίου 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (Illustrated έκδοση). Corwin Press. σελ. 78. ISBN 9781412905206. However, since most proofs without words are visual in nature, they often provide a reminder or hint of what's missing.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]