Ανισότητα Γένσεν

ανισότητα για κυρτές (και κοίλες) συναρτήσεις

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γένσεν (αναφέρεται και ως ανισότητα Jensen) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση και πραγματικούς αριθμούς , ισχύει ότι[1][2][3]:206

Η ανισότητα Γένσεν για την κυρτή συνάρτηση για δύο μεταβλητές , δίνει ότι για κάθε το κόκκινο σημείο είναι άνω του πράσινου.

Πιο γενικά, για κάθε με , ισχύει ότι

Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.

Απόδειξη

Επεξεργασία

Μία συνάρτηση   είναι κυρτή αν για κάθε   και  , ισχύει ότι

 

 

 

 

 

(1)

Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για  , θέτοντας   και  . Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε   με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για   και κάθε   και κάθε   με  , δηλαδή

 

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε   και   με  . Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή,

 

χρησιμοποιώντας ότι  .

Από την (1) για  ,   και  , έχουμε ότι

 .

Από την επαγωγική υπόθεση, για   (καθώς  ) έχουμε ότι

 ,

που ολοκληρώνει την απόδειξη για   μεταβλητές.

Εφαρμογές

Επεξεργασία

Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων:

Αποδείξεις άλλων ανισοτήτων

Επεξεργασία

Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906.[1] Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.[2]

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. 1,0 1,1 Jensen, J. L. W. V. (1906). «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes». Acta Mathematica 30 (0): 175–193. doi:10.1007/BF02418571. https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-30/issue-none/Sur-les-fonctions-convexes-et-les-in%c3%a9galit%c3%a9s-entre-les-valeurs/10.1007/BF02418571.full. 
  2. 2,0 2,1 Hölder, O. (1889). «Ueber einen Mittelwerthabsatz». Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: 38-47. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN00252421X. 
  3. Παπαδημητράκης, Μιχαήλ (2015). Ανάλυση: Πραγματικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-403-9.