Αριθμός Ταμαγκάουα

Στα μαθηματικά, ο αριθμός Ταμαγκάουα $\tau (G)$ μιας ημι-απλής αλγεβρικής ομάδας που ορίζεται πάνω από ένα συνολικό σώμα k είναι το μέτρο $G(\mathbb {A} )/G(k)$, όπου $\mathbb {A}$ είναι ο δακτύλιος adele του k. Οι αριθμοί Ταμαγκάουα εισήχθησαν από τον Ταμαγκάουα (Tamagawa (1966)) και πήραν το όνομά τους από τον Βέιλ (Weil (1959)).

Η παρατήρηση του Τσουνέο Ταμαγκάουα ήταν ότι, ξεκινώντας από μια αναλλοίωτη διαφορική μορφή ω στο G, ορισμένη πάνω στο k, το σχετικό μέτρο ήταν καλά ορισμένο: ενώ το ω θα μπορούσε να αντικατασταθεί από το cω με το c ένα μη μηδενικό στοιχείο του $k$, ο τύπος του γινομένου για τις αποτιμήσεις στο k αντικατοπτρίζεται από την ανεξαρτησία από το c του μέτρου του πηλίκου, για το μέτρο του γινομένου που κατασκευάζεται από το ω σε κάθε αποτελεσματικό παράγοντα. Ο υπολογισμός των αριθμών Ταμαγκάουα για ημιαπλές ομάδες περιέχει σημαντικά μέρη της κλασικής θεωρίας τετραγωνικών μορφών.

Ορισμός

Έστω k ένα συνολικό σώμα, A ο δακτύλιος των adeles και G μια ημι-απλή αλγεβρική ομάδα ορισμένη πάνω στο k.

Επιλέγουμε μέτρα Χάαρ στις πληρότητες k_v του k έτσι ώστε το O_v να έχει όγκο 1 για όλες τις θέσεις v εκτός από πεπερασμένα πολλά μέρη v. Αυτά στη συνέχεια επάγουν ένα μέτρο Χάαρ στο A, το οποίο υποθέτουμε περαιτέρω ότι είναι κανονικοποιημένο έτσι ώστε το A/k να έχει όγκο 1 ως προς το επαγόμενο πηλίκο του μέτρου.

Το μέτρο Ταμαγκάουα στην αλγεβρική ομάδα G(A) ορίζεται τώρα ως εξής. Ας πάρουμε μια αριστερά αναλλοίωτη n-μορφή ω στην G(k) που ορίζεται πάνω στο k, όπου n είναι η διάσταση της G. Αυτό, μαζί με τις παραπάνω επιλογές του μέτρου Χάαρ πάνω στο k_v, επάγει μέτρα Χάαρ στην G(k_v) για όλες τις θέσεις του v. Καθώς η G είναι ημιαπλή, το γινόμενο αυτών των μέτρων δίνει ένα μέτρο Χάαρ στην G(A), που ονομάζεται μέτρο Ταμαγκάουα. Το μέτρο Ταμαγκάουα δεν εξαρτάται από την επιλογή του ω, ούτε από την επιλογή των μέτρων στο k_v, επειδή ο πολλαπλασιασμός του ω με ένα στοιχείο του k* πολλαπλασιάζει το μέτρο Χάαρ στο G(A) επί 1, χρησιμοποιώντας τον τύπο του γινομένου για τις αποτιμήσεις.

Ο αριθμός Ταμαγκάουα τ(G) ορίζεται ως το μέτρο Ταμαγκάουα του G(A)/G(k).

Η εικασία του Βέιλ για τους αριθμούς Ταμαγκάουα

Η εικασία του Βέιλ για τους αριθμούς Ταμαγκάουα δηλώνει ότι ο αριθμός Ταμαγκάουα τ(G) μιας απλά συνδεδεμένης (δηλαδή χωρίς κατάλληλη αλγεβρική κάλυψη) απλής αλγεβρικής ομάδας που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα είναι 1. Ο Βέιλ (Weil (1959)) υπολόγισε τον αριθμό Ταμαγκάουα σε πολλές περιπτώσεις κλασικών ομάδων και παρατήρησε ότι είναι ακέραιος σε όλες τις εξεταζόμενες περιπτώσεις και ότι ήταν ίσος με 1 στις περιπτώσεις που η ομάδα είναι απλά συνδεδεμένη. Ο Όνο (Ono (1963)) βρήκε παραδείγματα όπου οι αριθμοί Ταμαγκάουα δεν είναι ακέραιοι, αλλά η εικασία για τον αριθμό Ταμαγκάουα των απλά συνδεδεμένων ομάδων αποδείχθηκε γενικά από διάφορες εργασίες με αποκορύφωμα την εργασία του Κότβιτς (Kottwitz (1988)) και για το ανάλογο πάνω από συναρτησιακά σώματα πάνω από πεπερασμένα σώματα από τους Γκάιτσγκορι & Λούρι (Gaitsgory & Lurie (2019)).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Αντρέ Βέιλ
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Galois Groups and Fundamental Groups
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces
• Algebraic Groups and Number Theory
• Algebraic Groups and Their Birational Invariants
• Arithmetic Geometry, Number Theory, and Computation
• Abelian Varieties and Number Theory
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Tamagawa number», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=T/t092060 
• Kottwitz, Robert E. (1988), «Tamagawa numbers», Ann. of Math., 2 (Annals of Mathematics) 127 (3): 629–646, doi:10.2307/2007007 .
• Ono, Takashi (1963), «On the Tamagawa number of algebraic tori», Annals of Mathematics, Second Series 78 (1): 47–73, doi:10.2307/1970502, ISSN 0003-486X 
• Ono, Takashi (1965), «On the relative theory of Tamagawa numbers», Annals of Mathematics, Second Series 82 (1): 88–111, doi:10.2307/1970563, ISSN 0003-486X, http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183525960 
• Tamagawa, Tsuneo (1966), «Adèles», Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, Proc. Sympos. Pure Math., IX, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 113–121 
• Weil, André (1959), Exp. No. 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, 5, σελ. 249–257, http://www.numdam.org/item?id=SB_1958-1960__5__249_0 
• Weil, André (1982), Adeles and algebraic groups, Progress in Mathematics, 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, https://books.google.com/books?id=vQvvAAAAMAAJ 
• Lurie, Jacob (2014), Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality, http://www.math.harvard.edu/~lurie/282y.html 
• Gaitsgory, Dennis; Lurie, Jacob (2019), Weil's Conjecture for Function Fields (Volume I), Annals of Mathematics Studies, 199, Princeton: Princeton University Press, σελ. viii, 311, ISBN 978-0-691-18213-1, Zbl 1439.14006, https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691182148/weils-conjecture-for-function-fields 
• Aravind Asok, Brent Doran and Frances Kirwan, "Yang-Mills theory and Tamagawa Numbers: the fascination of unexpected links in mathematics", February 22, 2013
• J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers, and Nonabelian Poincaré Duality posted June 8, 2012.