Βεδικό τετράγωνο

Στα Ινδικά μαθηματικά, το Βεδικό τετράγωνο είναι μια παραλλαγή του τυπικού 9×9 πίνακα πολλαπλασιασμού όπου η καταχώρηση σε κάθε κελί είναι η ψηφιακή ρίζα του γινομένου των σειρών και των στηλών, δηλαδή το υπόλοιπο όταν το γινόμενο των σειρών και των στηλών διαιρεθεί με το 9 (με το υπόλοιπο 0 να αντιπροσωπεύεται από το 9). Πολλά γεωμετρικά μοτίβα και συμμετρίες μπορούν να παρατηρηθούν σε ένα Βεδικό τετράγωνο, μερικά από τα οποία βρίσκονται στην παραδοσιακή Ισλαμική τέχνη.

Σημειώνοντας συγκεκριμένους αριθμούς μέσα στο Βεδικό τετράγωνο αποκαλύπτει ξεχωριστά σχήματα, όπου το καθένα έχει κάποια μορφή ανακλαστικής συμμετρίας.

$\circ$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Αλγεβρικές ιδιότητες

Το Βεδικό τετράγωνο μπορεί να θεωρηθεί ως ένας πίνακας πολλαπλασιασμού του μονοειδούς $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$, όπου $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ είναι το σύνολο των ακεραίων modulo 9. (η πράξη $\circ$ αναφέρεται στον "πολλαπλασιασμό" μεταξύ των στοιχείων αυτού του μονοειδούς).

Αν $a,b$ αποτελούν στοιχεία του $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$, τότε το $a\circ b$ μπορεί να οριστεί και ως $(a\times b)\mod {9}$. Αυτό δεν σχηματίζει μια ομάδα, επειδή δεν έχει κάθε μη μηδενικό στοιχείο ένα αντίστοιχο αντίστροφο στοιχείο. Για παράδειγμα, $6\circ 3=9$ αλλά δεν υπάρχει $a\in \{1,\cdots ,9\}$ τέτοιο ώστε $9\circ a=6.$

Ιδιότητες υποσυνόλων

Το υποσύνολο $\{1,2,4,5,7,8\}$ σχηματίζει μια κυκλική ομάδα με το 2 ως μία επιλογή γεννήτριας. Αυτή είναι η ομάδα των αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$. Κάθε σειρά και στήλη περιλαμβάνει και τους έξι αριθμούς, οπότε αυτό το υποσύνολο σχηματίζει ένα Λατινικό τετράγωνο.

$\circ$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Από τις δύο στις τρεις διαστάσεις

Λωρίδες ενός Βεδικού κύβου (πάνω σχήματα) και τριμετρικές προβολές των κελιών της δεδομένης ψηφιακής ρίζας d (κάτω σχήματα).

Ένας Βεδικός κύβος ορίζεται ως η διάταξη κάθε ψηφιακής ρίζας σε έναν τρισδιάστατο πίνακα πολλαπλασιασμού.

Βεδικά τετράγωνα σε υψηλότερες βάσεις

Βεδικό τετράγωνο στη βάση 100 (αριστερά) και στη βάση 1000 (δεξιά).

Τα Βεδικά τετράγωνα σε υψηλότερες βάσεις μπορούν να υπολογιστούν για την ανάλυση των συμμετρικών μοτίβων που προκύπτουν. Αυτό το κάνουμε χρησιμοποιώντας τον παρακάτω υπολογισμό: $(a\times b)\mod {(\beta {\acute {a}}\sigma \eta -1)}$. Οι εικόνες που βλέπετε στα αριστερά είναι χρωματικά κωδικοποιημένες, έτσι ώστε η ψηφιακή ρίζα του 1 να είναι σκοτεινή και η ψηφιακή ρίζα του αριθμού (βάση-1) να είναι ανοιχτή.

Δείτε επίσης

• Λατινικό τετράγωνο
• Αριθμητική υπολοίπων
• Μονοειδές

Βιβλιογραφία

• Deskins, W.E. (1996), Abstract Algebra, New York: Dover, σελ. 162–167, ISBN 0-486-68888-7 
• Pritchard, Chris (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press, σελ. 119–122, ISBN 0-521-53162-4 
• Ghannam, Talal (2012), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, σελ. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1 
• Teknomo, Kadi (2005), Digital Root: Vedic Square, http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/DigitSum/Vedic-square.html 
• Chia-Yu, Lin (2016), Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space, Recreational Mathematics Magazine, σελ. 9–31, ISSN 2182-1976, http://rmm.ludus-opuscula.org/Home/ArticleDetails/1155