Διάσταση Κρουλ

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, η διάσταση Κρουλ ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R, που πήρε το όνομά της από τον Βόλφγκανγκ Κρουλ, είναι το άθροισμα των μηκών όλων των αλυσίδων πρώτων ιδεωδών. Η διάσταση Κρουλ δεν είναι απαραίτητο να είναι πεπερασμένη ακόμη και για ένα Ναιτεριανό δακτύλιο. Γενικότερα, η διάσταση Κρουλ μπορεί να οριστεί για ενότητες πάνω σε ενδεχομένως μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους ως η απόκλιση του συνόλου των υπομονάδων.

Η διάσταση Κρουλ εισήχθη για να παράσχει έναν αλγεβρικό ορισμό της διάστασης μιας αλγεβρικής ποικιλίας: η διάσταση της συγγενικής ποικιλίας που ορίζεται από ένα ιδεώδες Ι σε έναν πολυωνυμικό δακτύλιο R είναι η διάσταση Κρουλ του R/I.

Ένα πεδίο k έχει διάσταση Κρουλ 0- γενικότερα, το k[x₁, ..., x_n] έχει διάσταση Κρουλ n. Ένα κύριο ιδεώδες πεδίο που δεν είναι πεδίο έχει διάσταση Κρουλ 1. Ένας τοπικός δακτύλιος έχει διάσταση Κρουλ 0 αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του μέγιστου ιδανικού του είναι μηδενικό.

Υπάρχουν διάφοροι άλλοι τρόποι που έχουν χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό της διάστασης ενός δακτυλίου. Οι περισσότεροι από αυτούς συμπίπτουν με τη διάσταση Κρουλ για τους Ναιτεριανούς δακτυλίους, αλλά μπορεί να διαφέρουν για τους μη Ναιτεριανούς δακτυλίους.

Επεξήγηση

Λέμε ότι μια αλυσίδα πρώτων ιδεωδών της μορφής ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ έχει μήκος n. Δηλαδή, το μήκος είναι ο αριθμός των αυστηρών εγκλεισμάτων και όχι ο αριθμός των πρώτων αριθμών- αυτοί διαφέρουν κατά 1. Ορίζουμε τη διάσταση Κρουλ του $R$ ως το άθροισμα των μηκών όλων των αλυσίδων πρώτων ιδεωδών στο $R$.

Δεδομένου ενός πρώτου ιδεώδους${\mathfrak {p}}$ στο R, ορίζουμε το ύψος του ${\mathfrak {p}}$, γραμμένο $\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})$, να είναι το άθροισμα των μηκών όλων των αλυσίδων των πρώτων ιδεωδών που περιέχονται στο ${\mathfrak {p}}$, που σημαίνει ότι ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}$. Με άλλα λόγια, το ύψος του ${\mathfrak {p}}$ είναι η διάσταση Κρουλ του εντοπισμού του R στο ${\mathfrak {p}}$. Ένα πρωταρχικό ιδεώδες έχει ύψος μηδέν αν και μόνο αν είναι ένα ελάχιστο πρωταρχικό ιδεώδες. Η διάσταση Κρουλ ενός δακτυλίου είναι το άθροισμα των υψών όλων των μέγιστων ιδανικών ή όλων των πρώτων ιδεωδών. Το ύψος ονομάζεται επίσης μερικές φορές συνδιάσταση, βαθμός ή ύψος ενός πρωτεύοντος ιδεώδους.

Σε έναν Ναιτεριανό δακτύλιο, κάθε πρώτο ιδεώδες έχει πεπερασμένο ύψος. Παρόλα αυτά, ο Ναγκάτα έδωσε ένα παράδειγμα Ναιτεριανού δακτυλίου με άπειρη διάσταση Κρουλ. Ένας δακτύλιος καλείται αλυσοειδής αν οποιοδήποτε έγκλεισμα ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}$ πρώτων ιδεωδών μπορεί να επεκταθεί σε μια μέγιστη αλυσίδα πρώτων ιδεωδών μεταξύ ${\mathfrak {p}}$ και ${\mathfrak {q}}$, και οποιαδήποτε δύο μέγιστες αλυσίδες μεταξύ ${\mathfrak {p}}$ και ${\mathfrak {q}}$ έχουν το ίδιο μήκος. Ένας δακτύλιος ονομάζεται καθολικά αλυσοειδής αν οποιαδήποτε πεπερασμένα παραγόμενη άλγεβρα πάνω σε αυτόν είναι αλυσοειδής. Ο Ναγκάτα έδωσε ένα παράδειγμα ενός Ναιτεριανού δακτυλίου που δεν είναι αλυσοειδής.

Σε ένα Ναιτεριανό δακτύλιο, ένα πρωταρχικό ιδεώδες έχει ύψος το πολύ n αν και μόνο αν είναι ένα ελάχιστο πρωταρχικό ιδεώδες πάνω σε ένα ιδεώδες που παράγεται από n στοιχεία (θεώρημα ύψους του Κρουλ και το αντίστροφό του). Αυτό σημαίνει ότι η συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας ισχύει για τα πρώτα ιδεώδη με τέτοιο τρόπο ώστε τα μήκη των αλυσίδων που φθάνουν από ένα πρώτο ιδεώδες να περιορίζονται από τον αριθμό των γεννητόρων του πρώτου ιδεώδους.

Γενικότερα, το ύψος ενός ιδεώδους I είναι το ελάχιστο του ύψους όλων των πρώτων ιδεωδών που περιέχουν το I. Στη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας, αυτό είναι η συνδιάσταση της υποδιαστολής του Spec($R$) που αντιστοιχεί στο I.

Σχήματα

Από τον ορισμό του φάσματος ενός δακτυλίου Spec(R), του χώρου των πρώτων ιδεωδών του R εφοδιασμένου με την τοπολογία Ζαρίσκι, προκύπτει εύκολα ότι η διάσταση Κρουλ του R είναι ίση με τη διάσταση του φάσματος του ως τοπολογικού χώρου, δηλαδή με το άθροισμα των μηκών όλων των αλυσίδων των μη αναγώγιμων κλειστών υποσυνόλων. Αυτό προκύπτει άμεσα από τη σύνδεση Γκαλουά μεταξύ των ιδεωδών του R και των κλειστών υποσυνόλων του Spec(R) και την παρατήρηση ότι, σύμφωνα με τον ορισμό του Spec(R), κάθε πρώτο ιδεώδες ${\mathfrak {p}}$ του R αντιστοιχεί σε ένα γενικό σημείο του κλειστού υποσυνόλου που συνδέεται με το ${\mathfrak {p}}$ μέσω της σύνδεσης Γκαλουά.

Παραδείγματα

• Η διάσταση ενός πολυωνυμικού δακτυλίου πάνω από ένα πεδίο k[x₁, ..., x_n] είναι ο αριθμός των μεταβλητών n. Στη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας, αυτό σημαίνει ότι ο αφινικός χώρος διάστασης n πάνω από ένα πεδίο έχει διάσταση n, όπως αναμενόταν. Γενικά, αν ο R είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος διάστασης n, τότε η διάσταση του R[x] είναι n + 1. Εάν η υπόθεση του Ναιτεριανού εγκαταλειφθεί, τότε ο R[x] μπορεί να έχει διάσταση οπουδήποτε μεταξύ n + 1 και 2n + 1.
• Παραδείγματος χάριν, το ιδεώδες ${\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ έχει ύψος 2 αφού μπορούμε να σχηματίσουμε τη μέγιστη αύξουσα αλυσίδα πρώτων ιδεωδών $(0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}$.
• Δεδομένου ενός μη αναγώγιμου πολυωνύμου $f\in \mathbb {C} [x,y,z]$, το ιδεώδες $I=(f^{3})$ δεν είναι πρώτο (αφού $f\cdot f^{2}\in I$, αλλά κανένας από τους παράγοντες δεν είναι), αλλά μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το ύψος, αφού το μικρότερο πρωταρχικό ιδεώδες που περιέχει το $I$ είναι ακριβώς $(f)$.
• Ο δακτύλιος των ακεραίων Z έχει διάσταση 1. Γενικότερα, κάθε κύρια ιδεώδης περιοχή που δεν είναι πεδίο έχει διάσταση 1.
• Μία ακέραια περιοχή είναι πεδίο αν και μόνο αν η διάσταση Κρουλ της είναι μηδέν. Οι περιοχές Ντέντεκιντ που δεν είναι πεδία ( παραδείγματος χάριν, διακριτοί δακτύλιοι αποτίμησης) έχουν διάσταση ένα.
• Η διάσταση Κρουλ του μηδενικού δακτυλίου ορίζεται συνήθως είτε ως $-\infty$ είτε ως $-1$. Ο μηδενικός δακτύλιος είναι ο μόνος δακτύλιος με αρνητική διάσταση.
• Ένας δακτύλιος είναι Αρτινικός αν και μόνο αν είναι Ναιτεριανός και η διάσταση Κρουλ του είναι ≤0.
• Μια ολοκληρωτική επέκταση ενός δακτυλίου έχει την ίδια διάσταση με τον δακτύλιο.
• Έστω R μια άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο k που είναι ένα ολοκληρωτικό πεδίο. Τότε η διάσταση Κρουλ της R είναι μικρότερη ή ίση με τον βαθμό υπερβατικότητας του πεδίου των κλασμάτων της R πάνω από το k. Η ισότητα ισχύει αν η R παράγεται πεπερασμένα ως άλγεβρα (για παράδειγμα από το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ).
• Έστω R ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, I ένα ιδεώδες και gr $\operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}$ να είναι ο σχετικός βαθμωτός δακτύλιος (οι γεωμέτρες τον αποκαλούν δακτύλιο του κανονικού κώνου του I.) Τότε $\operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)$ είναι το ανώτατο άθροισμα των υψών των μέγιστων ιδεωδών του R που περιέχουν το I..
• Ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος μηδενικής διάστασης Κρουλ είναι ένα άμεσο γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού (ενδεχομένως του ενός) από τους τοπικούς δακτυλίους μηδενικής διάστασης Κρουλ.
• Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ αν η διάστασή του είναι ίση με το βάθος του. Ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος είναι ένα παράδειγμα ενός τέτοιου δακτυλίου.
• Ένας Ναιτεριανός ολοκληρωτικός τομέας είναι ένας μοναδικός τομέας παραγοντοποίησης αν και μόνο αν κάθε πρώτο ιδεώδες ύψους 1 είναι κύριο.
• Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό δακτύλιο οι τρεις ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες: να είναι αναγωγικός δακτύλιος μηδενικής διάστασης Krull, να είναι πεδίο ή άμεσο γινόμενο πεδίων, να είναι κανονικός von Nιούμαν.

Από μια ενότητα

Αν ο R είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος και το M είναι ένα R-σύνολο, ορίζουμε τη διάσταση Κρουλ του M ως τη διάσταση Κρουλ του πηλίκου του R που κάνει το M ένα πιστό σύνολο. Δηλαδή, την ορίζουμε από τον τύπο:

$\dim _{R}M:=\dim(R/\operatorname {Ann} _{R}(M))$

όπου Ann_R(M), ο εκμηδενιστής, είναι ο πυρήνας του φυσικού χάρτη _R(M) of R του R στον δακτύλιο των R-γραμμικών ενδομορφισμών του M.

Στη γλώσσα των σχημάτων, οι πεπερασμένα παραγόμενες ενότητες ερμηνεύονται ως συνεκτικές δέσμες ή γενικευμένες διανυσματικές δέσμες πεπερασμένης τάξης.

Για μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους

Η διάσταση Κρουλ μιας ενότητας πάνω από έναν ενδεχομένως μη αντιμεταθετικό δακτύλιο ορίζεται ως η απόκλιση του συνόλου των υπομονάδων που διατάσσονται με βάση την ένταξη. Για τους αντιμεταθετικούς Ναιτεριανούς δακτυλίους, αυτός είναι ο ίδιος ορισμός με τον ορισμό που χρησιμοποιεί αλυσίδες πρώτων ιδεωδών. Οι δύο ορισμοί μπορεί να είναι διαφορετικοί για τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους που δεν είναι Ναιτεριανοί.

Δημοσιεύσεις

• Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
• L.A. Bokhut'· I.V. L'vov· V.K. Kharchenko (1991). «I. Noncommuative rings». Στο: Kostrikin, A.I.· Shafarevich, I.R. Algebra II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 18. Springer-Verlag. ISBN 3-540-18177-6.  Sect.4.7.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Serre, Jean-Pierre (2000). Local Algebra. Springer Monographs in Mathematics (στα Γερμανικά). doi:10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8. OCLC 864077388. 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Worksheet on Affine Noetherian Schemes
• Algebraic Geometry
• Topology

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157