Διωνυμικός συντελεστής

Στα μαθηματικά, οι διωνυμικοί συντελεστές είναι μια οικογένεια θετικών ακεραίων αριθμών που προκύπτουν ως συντελεστές στο διωνυμικό θεώρημα. Ένας διωνυμικός συντελεστής αναπροσαρμόζεται από δύο φυσικούς αριθμούς n και k, που συνήθως γράφονται ${\tbinom {n}{k}},$ και είναι ο συντελεστής του x ^k όρου στην πολυωνυμική διεύρυνση της διωνυμικής δύναμης (1 + x) ⁿ. Υπό κατάλληλες συνθήκες, η τιμή του συντελεστή δίνεται από την έκφραση ${\tfrac {n!}{k!\,(n-k)!}}$. Η διάταξη των διωνυμικών συντελεστών σε σειρές διαδοχικών τιμών του n, όπου το k κυμαίνεται από το 0 έως το n, δίνει μια τριγωνική διάταξη που ονομάζεται τρίγωνο του Πασκάλ.

Οι διωνυμικοί συντελεστές σε διάταξη τέτοια ώστε να σχηματίσουν το τρίγωνο του Πασκάλ.

Απεικόνιση του διωνυμικού θεωρήματος μέχρι την 4η δύναμη

Αυτή η οικογένεια αριθμών προκύπτει και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών πέραν της άλγεβρας, ειδικά στην Συνδυαστική. ${\tbinom {n}{k}}$ συχνά προφέρεται ως "n ανά k», επειδή υπάρχουν ${\tbinom {n}{k}}$ τρόποι για να επιλεγούν k στοιχεία από ένα σύνολο n στοιχείων. Οι ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών έχουν ως συνέπεια την επέκταση της έννοιας του συμβόλου ${\tbinom {n}{k}}$ πέραν από τη βασική περίπτωση όπου οι n και k είναι φυσικοί αριθμοί, στο γενικότερο k ≤ n. Τέτοιες εκφράσεις εξακολουθούν να ονομάζονται διωνυμικοί συντελεστές.

Ο συμβολισμός ${\tbinom {n}{k}}$ εισήχθη από τον Andreas von Ettingshausen το 1826, αν και οι αριθμοί αυτοί ήταν ήδη γνωστοί αιώνες πριν (βλέπε τρίγωνο του Πασκάλ). Η αρχαιότερη γνωστή λεπτομερή αναφορά στους διωνυμικούς συντελεστές είναι ένα σχόλιο του 10ου αιώνα, από τον Halayudha, σε ένα αρχαίο σανσκριτικό κείμενο, το Pingala's Chandaḥśāstra. Περίπου το 1150, ο Ινδός μαθηματικός Bhaskaracharya έκανε ένα εγχειρίδιο λειτουργίας των διωνυμικών συντελεστών στο τέταρτο κεφάλαιο της έκτης ενότητας του βιβλίου του Lilavati.

Εναλλακτικές σημειογραφίες περιλαμβάνουν C(n, k), C_n,k , _nC_k , ⁿC_k , C^k_n, Cⁿ_k, σε όλες τις οποίες το C σημαίνει συνδυασμοί ή επιλογές. Πολλοί υπολογιστές χρησιμοποιούν παρόμοιες παραλλαγές της σημειογραφίας C, ώστε να αναπαρασταθεί σε μια γραμμή οθόνης, κατά το δυνατόν.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία

• Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics. σελ. 25. ISBN 0-89871-420-6. 
• Knuth, Donald E. (1997). Fundamental Algorithms. The Art of Computer Programming. 1 (3η έκδοση). Addison-Wesley. σελίδες 52–74. ISBN 0-201-89683-4. 
• Shilov, G. E. (1977). Linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Binomial coefficients», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/b016410 
• Granville, Andrew (1997). «Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers». CMS Conf. Proc 20: 151–162. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2015-09-23. https://web.archive.org/web/20150923201436/http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/Binomial/toppage.html. Ανακτήθηκε στις 2015-09-21. 
• PlanetMath: Binomial Coefficient, Bounds for binomial coefficients, Generalized binomial coefficients, Proof that C(n,k) is an integer.