Σύμβολο μετάθεσης

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

$\epsilon _{ijk}={\begin{cases}1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2)\ {\acute {\eta }}\ (2,3,1)\\-1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3)\ {\acute {\eta }}\ (3,2,1)\\0,&\ \alpha \nu \ i=j,\ i=k\ {\acute {\eta }}\ j=k\end{cases}}$

Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης ε_ijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάθεσης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

$\epsilon _{ijk}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}$

Ιδιότητες

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

${\begin{aligned}\epsilon _{ij}\epsilon _{mn}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{in}&=\delta _{jn}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{ij}&=2\end{aligned}}$

Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

${\begin{aligned}\epsilon _{ijk}\epsilon _{mnk}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{imn}\epsilon _{jmn}&=2\delta _{ij}\\\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}&=6\end{aligned}}$

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις

Διανυσματικός λογισμός

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a₁,a₂,a₃) και Β=(b₁,b₂,b₃) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

${\mathbf {A} }\times {\mathbf {B} }={\begin{vmatrix}{\mathbf {e} }_{1}&{\mathbf {e} }_{2}&{\mathbf {e} }_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

όπου (e₁,e₂,e₃) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

${\mathbf {A} }\times {\mathbf {B} }=\epsilon _{ijk}{\mathbf {e} }_{i}a_{j}b_{k}$

Εν γένει, αν C=A×B τότε:

$C_{i}=\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k}$

όπου οι δείκτες αναφέρονται στην συνιστώσα κάθε διανύσματος ως προς τους αντίστοιχους άξονες που ορίζουν τα διανύσματα βάσης (e₁,e₂,e₃).

Δείτε επίσης

• Δέλτα του Κρόνεκερ

Πηγές

Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol».