Πυρήνας (γραμμική άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη γραμμική άλγεβρα και τη συναρτησιακή ανάλυση, ο πυρήνας (γνωστός και ως μηδενικοχώρος) ενός γραμμικού μετασχηματισμού L : V → W μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων V και W, είναι το σύνολο όλων των στοιχείων v του V για τα οποία L(v) = 0, όπου το 0 δηλώνει το μηδενικό διάνυσμα στο W. Δηλαδή,

$\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}$

Ιδιότητες

Ο πυρήνας Ker(L) και η εικόνα Im(L) ενός μετασχηματισμού L.

Ο πυρήνας του L είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του πεδίου ορισμού V. Στο γραμμικό μετασχηματισμό L : V → W, δύο στοιχεία του V έχουν την ίδια εικόνα στο W εάν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ο πυρήνας του L:

$L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} {\text{.}}$

Επομένως, η εικόνα του L είναι ισομορφική με το πηλίκο του V με τον πυρήνα:

$\mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L){\text{.}}$

Αυτό συνεπάγεται το θεώρημα τάξης και μηδενικότητας:

$\dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V){\text{.}}\,$

όπου, με τάξη εννοούμε τη διάσταση της εικόνας του L, και με μηδενικότητα εκείνη του πυρήνα του L.

Όταν το V είναι χώρος εσωτερικού γινομένου, το πηλίκο V / ker(L) μπορεί να ταυτιστεί με το ορθογώνιο συμπλήρωμα στο V του ker(L). Αυτή είναι η γενίκευση σε γραμμικούς μετασχηματισμούς του χώρου γραμμών, ή συνεικόνας, ενός πίνακα.