Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνισηγραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων και επί του σώματος είναι μία συνάρτηση η οποία ικανοποιεί

  • , για κάθε , και
  • , για κάθε και .

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση

, για κάθε και .

Αν οι διανυσματικοί χώροι και ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

Ιδιότητες

Επεξεργασία

Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση  :

  •  .
  • Για οποιαδήποτε   διανύσματα   και σταθερές  , ισχύει ότι
 .

Παραδείγματα

Επεξεργασία
  • Η συνάρτηση   για   είναι γραμμική.
  • Η μηδενική συνάρτηση   είναι γραμμική.
  • Για κάθε πίνακα   η συνάρτηση   είναι γραμμική (για  ).
  • Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση
 
είναι γραμμική.
  • Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων   η συνάρτηση
 
είναι γραμμική.

Πίνακας μετασχηματισμού

Επεξεργασία

Σε κάθε διανυσματικό χώρο   πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.

Έστω   μία βάση του διανυσματικού χώρου  . Τότε κάθε διάνυσμα   μπορεί να γραφτεί ως

 ,

για κάποια  . Επομένως για έναν μετασχηματισμό   έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι

 .

Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

 

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα   δεν εξαρτώνται από το  , επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό  . Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του  .

Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή

Επεξεργασία
Περιστροφή του   κατά γωνία  .
Περιστροφή του   κατά γωνία  .

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία   από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης

 

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι

 

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από