Ταυτότητα του Όιλερ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ Προσθήκη παραπομπών, δείτε επίσης |
||
Γραμμή 1:
Στη [[μαθηματική ανάλυση]], η '''ταυτότητα του Όιλερ''' , είναι η εξίσωση<ref>{{cite web |last=Χριστοδουλίδης |first=Κώστας |title=Η ταυτότητα του Όιλερ |url=http://www.physics.ntua.gr/~cchrist/SIMEIOSEIS/MATH.SYMPL.2003.PDF/KEFALAIO%2005%20.pdf |publisher=Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο |accessdate=18 Μαρτίου 2023}}</ref><ref>{{cite web |last=Σταματιάδης |first=Σταμάτης |title=Εφαρμοσμένα Μαθηματικά: Σημειώσεις Διαλέξεων |url=https://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ETY116new/notes.pdf |publisher=Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης |accessdate=18 Μαρτίου 2023}}</ref>{{rp|11}}<ref>{{cite web |last=Μερκουράκης |first=Σοφοκλής Κ. |title=Σημειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης |url=https://eclass.uoa.gr/modules/document/file.php/MATH639/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82%20%CE%9C%CE%B9%CE%B3%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%AE%CF%82%20%CE%91%CE%BD%CE%AC%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7%CF%82.pdf |publisher=Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών |year=2022 |accessdate=18 Μαρτίου 2023}}</ref>{{rp|16}}
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!</math>
όπου
:<math>e\,\!</math> είναι ο [[Αριθμός e (μαθηματικά)|αριθμός του Όιλερ]], η βάση των φυσικών [[λογάριθμος|λογαρίθμων]],
Γραμμή 13 ⟶ 9 :
== Απόδειξη ==
[[Αρχείο:Euler's formula.svg|thumb|right|250px|
Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
για κάθε [[πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμό]] ''x''
▲για κάθε [[πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμό]] ''x''. (οι μονάδες δίνονται σε [[Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)|ακτίνια]].) Συγκεκριμένα, αν
: <math>x = \pi,\,\!</math>
τότε
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
Αφού
συνεπώς,
▲: <math> \cos\pi=-1 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \ \sin\pi=0 </math>
: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>
που δίνει την ταυτότητα
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
Γραμμή 41 ⟶ 26 :
Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το ''e'' με τους όρους [[ημίτονο]] και [[συνημίτονο]], δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.
==Δείτε επίσης==
* [[Τύπος του Όιλερ]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
== Παραπομπές ==
<references/>
[[Κατηγορία:Θεωρήματα της μιγαδικής ανάλυσης]]
[[Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές]]
[[Κατηγορία:
| |||