Εικασία του Χοτζ

Στα μαθηματικά, η εικασία του Χοτζ είναι ένα σημαντικό άλυτο πρόβλημα της αλγεβρικής γεωμετρίας και της μιγαδικής γεωμετρίας, το οποίο σχετίζει την αλγεβρική τοπολογία μιας μη-ιδιάζουσας μιγαδικής αλγεβρικής ποικιλίας με τις υποποικιλίες της.

Τα τοπολογικά χαρακτηριστικά ενός χώρου $X$, όπως μια τρύπα (που χαρακτηρίζεται από $A$), συνήθως ανιχνεύονται με τη χρήση της μοναδικής (συν)ομολογίας, όπου η παρουσία μιας μη μηδενικής κλάσης $[\alpha ]\in H_{\text{sing}}^{k}(X)$ δείχνει ότι ο χώρος $X$ έχει μια (διάσταση $k$) τρύπα. Μια τέτοια κλάση αναπαρίσταται από μια (συν)αλυσίδα απλοτήτων, που απεικονίζεται με το κόκκινο πολύγωνο που είναι κατασκευασμένο από 1-απλότητες (ευθύγραμμα τμήματα) στα αριστερά. Αυτή η κλάση ανιχνεύει την τρύπα $A$ κάνοντας κύκλο γύρω από αυτήν. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει στην πραγματικότητα μια πολυωνυμική εξίσωση της οποίας το σύνολο μηδέν, που απεικονίζεται με πράσινο χρώμα στα δεξιά, ανιχνεύει επίσης την τρύπα κάνοντας βρόχο γύρω από αυτήν. Η εικασία Χοτζ γενικεύει αυτή τη δήλωση σε υψηλότερες διαστάσεις.

Με απλά λόγια, η εικασία Χοτζ ισχυρίζεται ότι οι βασικές τοπολογικές πληροφορίες, όπως ο αριθμός των οπών σε ορισμένους γεωμετρικούς χώρους, μιγαδικές αλγεβρικές ποικιλίες, μπορούν να κατανοηθούν μελετώντας τα πιθανά ωραία σχήματα που κάθονται μέσα σε αυτούς τους χώρους, τα οποία μοιάζουν με μηδενικά σύνολα πολυωνυμικών εξισώσεων. Τα τελευταία αντικείμενα μπορούν να μελετηθούν με τη χρήση της άλγεβρας και του λογισμού των αναλυτικών συναρτήσεων, και αυτό επιτρέπει την έμμεση κατανόηση του ευρύτερου σχήματος και της δομής των συχνά υψηλότερων διαστάσεων χώρων που δεν μπορούν να απεικονιστούν εύκολα με άλλο τρόπο.

Πιο συγκεκριμένα, η εικασία δηλώνει ότι ορισμένες κλάσεις συνομολογίας ντε Ραμ είναι αλγεβρικές, δηλαδή είναι αθροίσματα των δυϊκών του Πουανκαρέ των κλάσεων ομολογίας των υποδιαστολών. Διατυπώθηκε από τον Σκωτσέζο μαθηματικό Γουίλιαμ Βάλανς Ντάγκλας Χοτζ (William Vallance Douglas Hodge) ως αποτέλεσμα μιας εργασίας μεταξύ 1930 και 1940 για τον εμπλουτισμό της περιγραφής της συνομολογίας ντε Ραμ ώστε να συμπεριλάβει επιπλέον δομή που υπάρχει στην περίπτωση των σύνθετων αλγεβρικών ποικιλιών. Δεν έτυχε ιδιαίτερης προσοχής προτού ο Χοτζ την παρουσιάσει σε μια ομιλία κατά τη διάρκεια του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών του 1950, που πραγματοποιήθηκε στο Κέιμπριτζ της Μασαχουσέτης. Η εικασία του Χοτζ είναι ένα από τα Προβλήματα του Βραβείου Χιλιετίας του Ινστιτούτου Μαθηματικών Κλέι, με βραβείο 1.000.000 δολαρίων ΗΠΑ για όποιον μπορέσει να αποδείξει ή να διαψεύσει την εικασία του Χοτζ.

Κίνητρα

Κύριο άρθρο: Hodge για σύνθετες προβολικές ποικιλίες

Έστω X μια συμπαγής μιγαδική πολλαπλότητα μιγαδικής διάστασης n. Τότε η X είναι μια προσανατολισμένη ομαλή πολλαπλότητα πραγματικής διάστασης $2n$, οπότε οι ομάδες συνομολογίας της βρίσκονται σε βαθμούς μηδέν έως $2n$. Ας υποθέσουμε ότι η X είναι μια πολλαπλότητα Κέλερ, έτσι ώστε να υπάρχει μια αποσύνθεση στη συνομολογία της με μιγαδικούς συντελεστές

$H^{n}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),$

όπου $H^{p,q}(X)$ είναι η υποομάδα των κλάσεων συνομολογίας που αντιπροσωπεύονται από αρμονικές μορφές τύπου $(p,q)$. Με άλλα λόγια, πρόκειται για τις κλάσεις συνομολογίας που αντιπροσωπεύονται από μορφές οι οποίες, σε μια ορισμένη επιλογή τοπικών συντεταγμένων $z_{1},\ldots ,z_{n}$, μπορούν να γραφούν υπό τη μορφή συναρτήσεων αρμονικού χρόνου

$dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.$

Εφόσον η X είναι μια συμπαγής προσανατολισμένη πολλαπλότητα, η X έχει μια θεμελιώδη τάξη, και έτσι η X μπορεί να ολοκληρωθεί.

Έστω Z μια μιγαδική υποπολλαπλότητα της X διάστασης k, και έστω $i\colon Z\to X$ ο χάρτης ενσωμάτωσης. Επιλέγουμε μια διαφορική μορφή $\alpha$ τύπου $(p,q)$. Μπορούμε να ολοκληρώσουμε την $\alpha$ πάνω στο Z χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση επαναφοράς $i^{*}$,

$\int _{Z}i^{*}\alpha .$

Για να αξιολογήσετε αυτό το ολοκλήρωμα, επιλέγουμε ένα σημείο του Z και το ονομάζουμε $z=(z_{1},\ldots ,z_{k})$. Η συμπερίληψη του Z στο X σημαίνει ότι μπορούμε να επιλέξουμε μια τοπική βάση στο X και να έχουμε $z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0$ θεώρημα κατάταξης-μηδενισμού . Αν $p>k$, τότε το $\alpha$ πρέπει να περιέχει κάποιο $dz_{i}$ όπου το $z_{i}$ έλκει το μηδέν στο Z. Το ίδιο ισχύει και για το $d{\bar {z}}_{j}$ αν $q>k$. Συνεπώς, το ολοκλήρωμα αυτό είναι μηδέν αν $(p,q)\neq (k,k)$.

Η εικασία του Χοτζ θέτει (κατά προσέγγιση) το ακόλουθο ερώτημα:

Ποιες κλάσεις συνομολογίας στην $H^{k,k}(X)$ προέρχονται από σύνθετες υποδιαστολές Z;

Δήλωση της εικασίας Χοτζ

Έστω

$\operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).$

Η σύγχρονη δήλωση της εικασίας Χοτζ είναι η εξής

'Εικασία Χοτζ. Έστω X μια μη-συνεχής μιγαδική προβολική πολλαπλότητα. Τότε κάθε κλάση Χοτζ στην Χ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός με ορθολογικούς συντελεστές των κλάσεων συνομολογίας των μιγαδικών υποποικιλιών της Χ.

Μια μιγαδική προβολική πολλαπλότητα είναι μια μιγαδική πολλαπλότητα που μπορεί να ενσωματωθεί σε έναν μιγαδικό προβολικό χώρο. Δεδομένου ότι ο προβολικός χώρος φέρει μια μετρική Κέλερ (Kähler), τη μετρική Fubini-Study, μια τέτοια πολλαπλότητα είναι πάντα μια πολλαπλότητα Κέλερ. Σύμφωνα με το θεώρημα του Τσάου, μια μιγαδική προβολική πολλαπλότητα είναι επίσης μια ομαλή προβολική αλγεβρική ποικιλία, δηλαδή το σύνολο μηδέν μιας συλλογής ομογενών πολυωνύμων.

Αναδιατύπωση σε όρους αλγεβρικών κύκλων

Ένας άλλος τρόπος διατύπωσης της εικασίας Χοτζ περιλαμβάνει την ιδέα ενός αλγεβρικού κύκλου. Ένας αλγεβρικός κύκλος στο X είναι ένας τυπικός συνδυασμός υποπολλαπλών του X, δηλαδή είναι κάτι της μορφής

$\sum _{i}c_{i}Z_{i}.$

Οι συντελεστές λαμβάνονται συνήθως ως ακέραιοι ή ρητοί. Ορίζουμε την κλάση συνομολογίας ενός αλγεβρικού κύκλου ως το άθροισμα των κλάσεων συνομολογίας των συνιστωσών του. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του χάρτη κλάσεων κύκλου της συνομολογίας ντε Ραμ, βλέπε συνομολογία Βἐιλ. Παραδείγματος χάριν, η κλάση συνομολογίας του παραπάνω κύκλου θα ήταν

$\sum _{i}c_{i}[Z_{i}].$

Μια τέτοια κλάση συνομολογίας ονομάζεται αλγεβρική. Με αυτόν τον συμβολισμό, η εικασία Χοτζ γίνεται

Έστω X μια προβολική μιγαδική πολλαπλότητα. Τότε κάθε κλάση Χοτζ στην Χ είναι αλγεβρική.

Η υπόθεση της εικασίας Χοτζ ότι η Χ είναι αλγεβρική (προβολική μιγαδική πολλαπλότητα) δεν μπορεί να αποδυναμωθεί. Το 1977, ο Στίβεν Ζάκερ έδειξε ότι είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένα αντιπαράδειγμα της εικασίας Χοτζ ως μιγαδικοί τόροι με αναλυτική ρητή συνομολογία τύπου $(p,p)$, η οποία δεν είναι προβολική αλγεβρική. (βλέπε παράρτημα Β του Zucker (1977))

Γνωστές περιπτώσεις της εικασίας Χοτζ

Χαμηλή διάσταση και συνδιάσταση

Το πρώτο αποτέλεσμα σχετικά με την εικασία Χοτζ οφείλεται στον Lefschetz (1924). Στην πραγματικότητα, προϋπήρχε της εικασίας και παρείχε κάποια από τα κίνητρα του Χοτζ.

'Θεώρημα (Θεώρημα Λέφσετζ στις (1,1)-κλάσεις) Οποιοδήποτε στοιχείο του $H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)$ είναι η κλάση συνομολογίας ενός διαιρέτη στο $X$. Ειδικότερα, η εικασία Χοτζ είναι αληθής για την $H^{2}$.

Μια πολύ γρήγορη απόδειξη μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας την συνομολογία των δεσμών και την εκθετική ακριβή ακολουθία. (Η κλάση συνομολογίας ενός διαιρέτη αποδεικνύεται ίση με την πρώτη κλάση Τσερν). Η αρχική απόδειξη του Λέφσετζ προχώρησε με κανονικές συναρτήσεις κανονικές συναρτήσεις, οι οποίες εισήχθησαν από τον Ανρί Πουανκαρέ. Ωστόσο, το θεώρημα της εγκάρσιας μεταβλητότητας του Γκρίφιτς δείχνει ότι αυτή η προσέγγιση δεν μπορεί να αποδείξει την εικασία του Χοτζ για υποδιαστολές υψηλότερων κωδικοδιαστάσεων.

Με το θεώρημα Χαρντ Λέφσετζ, μπορούμε να αποδείξουμε:

'Θεώρημα. Αν για κάποιο $p<{\frac {n}{2}}$ η εικασία Χοτζ ισχύει για κλάσεις Χοτζ βαθμού $p$, τότε η εικασία Χοτζ ισχύει για κλάσεις Χοτζ βαθμού $2n-p$.

Ο συνδυασμός των δύο παραπάνω θεωρημάτων συνεπάγεται ότι η εικασία Χοτζ είναι αληθής για κλάσεις Χοτζ βαθμού $2n-2$. Αυτό αποδεικνύει την εικασία Χοτζ όταν η $X$ έχει διάσταση το πολύ τρεις.

Το θεώρημα Λεφσέτζ για τις (1,1)-κλάσεις συνεπάγεται επίσης ότι αν όλες οι κλάσεις Χοτζ παράγονται από τις κλάσεις Χοτζ των διαιρετών, τότε η εικασία Χοτζ είναι αληθής:

'Επακόλουθο. Αν η άλγεβρα $\operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)$ παράγεται από την $\operatorname {Hdg} ^{1}(X)$, τότε η εικασία Χοτζ ισχύει για την $X$.

Υπερεπιφάνειες

Σύμφωνα με το ισχυρό και ασθενές θεώρημα Λεφσέτζ, το μόνο μη τετριμμένο μέρος της εικασίας Χοτζ για τις υπερεπιφάνειες είναι το μέρος του βαθμού m (δηλαδή η μεσαία συνομολογία) μιας 2m-διάστατης υπερεπιφάνειας $X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}$. Αν ο βαθμός d είναι 2, δηλαδή το X είναι τετράγωνο, η εικασία Χοτζ ισχύει για όλα τα m. Για $m=2$, δηλαδή για τετράπτυχα, η εικασία Χοτζ είναι γνωστή για $d\leq 5$.

Αβελιανές ποικιλίες

Για τις περισσότερες αβελιανές ποικιλίες, η άλγεβρα Hdg*(X) παράγεται σε πρώτο βαθμό, οπότε ισχύει η εικασία Χοτζ. Ειδικότερα, η εικασία Χοτζ ισχύει για αρκετά γενικές αβελιανές ποικιλίες, για προϊόντα ελλειπτικών καμπυλών και για απλές αβελιανές ποικιλίες πρώτης διάστασης. Ωστόσο, ο Μάμφορντ Mumford (1969) κατασκεύασε ένα παράδειγμα αβελιανής ποικιλίας όπου η Hdg²(X) δεν παράγεται από γινόμενα διαιρετικών κλάσεων. Ο Weil Weil (1977) γενίκευσε αυτό το παράδειγμα δείχνοντας ότι όποτε η ποικιλία έχει μιγαδικό πολλαπλασιασμό με ένα φανταστικό τετραγωνικό πεδίο, τότε η Hdg²(X) δεν παράγεται από προϊόντα κλάσεων διαιρέτη. Οι Μούνεν & Ζαρίν Moonen & Zarhin (1999) απέδειξαν ότι σε διάσταση μικρότερη από 5, είτε η Hdg*(X) παράγεται σε πρώτο βαθμό, είτε η ποικιλία έχει μιγαδικό πολλαπλασιασμό από ένα φανταστικό τετραγωνικό πεδίο. Στην τελευταία περίπτωση, η εικασία Χοτζ είναι γνωστή μόνο σε ειδικές περιπτώσεις.

Γενικεύσεις

Εικασία του ολοκληρωτικού Χοτζ

Η αρχική εικασία του Χοτζ ήταν η εξής:

'Εικασία του Ολοκληρωτικού Χοτζ. Έστω X μια προβολική μιγαδική πολλαπλότητα. Τότε κάθε κλάση συνομολογίας στην $H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)$ είναι η κλάση συνομολογίας ενός αλγεβρικού κύκλου με ολοκληρωτικούς συντελεστές στην X.

Σήμερα είναι γνωστό ότι αυτό είναι ψευδές. Το πρώτο αντιπαράδειγμα κατασκευάστηκε από τους Ατίγια & Χίρζεμπρουχ Atiyah & Hirzebruch (1961). Χρησιμοποιώντας την Κ-θεωρία, κατασκεύασαν ένα παράδειγμα μιας κλάσης συνομολογίας στρέψης -δηλαδή μια κλάση συνομολογίας α τέτοια ώστε nα = 0 για κάποιο θετικό ακέραιο n- η οποία δεν είναι η κλάση ενός αλγεβρικού κύκλου. Μια τέτοια κλάση είναι αναγκαστικά μια κλάση Χοτζ. {Totaro (1997) επανερμήνευσε το αποτέλεσμά τους στο πλαίσιο του συνομπορδισμού και βρήκε πολλά παραδείγματα τέτοιων κλάσεων.

Η απλούστερη προσαρμογή της ολοκληρωτικής εικασίας Χοτζ είναι η εξής:

'Εικασία του ολοκληρωτικού Χοτζ modulo στρέψης. Έστω X μια προβολική μιγαδική πολλαπλότητα. Τότε κάθε κλάση συνομολογίας στην $H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)$ είναι το άθροισμα μιας κλάσης στρέψης και της κλάσης συνομολογίας ενός αλγεβρικού κύκλου με ολοκληρωτικούς συντελεστές στην X.

Ισοδύναμα, μετά τη διαίρεση της $H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)$ με κλάσεις στρέψης, κάθε κλάση είναι η εικόνα της κλάσης συνομολογίας ενός ολοκληρωτικού αλγεβρικού κύκλου. Αυτό είναι επίσης ψευδές. Ο Κόλαρ Kollár (1992) βρήκε ένα παράδειγμα μιας κλάσης Χοτζ α η οποία δεν είναι αλγεβρική, αλλά έχει ένα ολοκληρωτικό πολλαπλάσιο που είναι αλγεβρικό.

Οι Ρόζενσον και Σρίνιβας Rosenschon & Srinivas (2016) έχουν δείξει ότι για να επιτύχουμε μια σωστή ολοκληρωτική εικασία Hodge, πρέπει να αντικαταστήσουμε τις ομάδες Τσάου, οι οποίες μπορούν επίσης να εκφραστούν ως ομάδες κινητικής συνομολογίας, με μια παραλλαγή γνωστή ως étale (ή Lichtenbaum) κινητική συνομολογία. Δείχνουν ότι η εικασία του ρητού Χοτζ είναι ισοδύναμη με την εικασία του ολοκληρωτικού Χοτζ για αυτή την τροποποιημένη κινητική συνομολογία.

Εικασία Χοτζ για τις ποικιλίες Κέλερ

Μια φυσική γενίκευση της εικασίας Χοτζ θα ρωτούσε:

'Εικασία Χοτζ για ποικιλίες Κέλερ, αφελής εκδοχή. Έστω X μια μιγαδική πολλαπλότητα Κέλερ. Τότε κάθε κλάση Χοτζ στην X είναι ένας γραμμικός συνδυασμός με ρητούς συντελεστές των κλάσεων συνομολογίας των μιγαδικών υποποικιλιών της X.

Αυτό είναι πολύ αισιόδοξο, διότι δεν υπάρχουν αρκετές υποποικιλίες για να λειτουργήσει αυτό. Ένα πιθανό υποκατάστατο είναι να θέσετε αντί γι' αυτό ένα από τα δύο ακόλουθα ερωτήματα:

'Η εικασία Χοτζ για τις ποικιλίες Κέλερ, εκδοχή της διανυσματικής δέσμης. Έστω X μια μιγαδική πολλαπλότητα Κέλερ. Τότε κάθε κλάση Χοτζ στη X είναι ένας γραμμικός συνδυασμός με ρητούς συντελεστές των κλάσεων Τσερν των διανυσματικών δεσμίδων στη X.

'Εικασία του Χοτζ για τις ποικιλίες Κέλερ, εκδοχή της συνεκτικής δέσμης. Έστω X μια μιγαδική πολλαπλότητα Κέλερ. Τότε κάθε κλάση Χοτζ στη X είναι ένας γραμμικός συνδυασμός με ρητούς συντελεστές των κλάσεων Τσερν των συνεκτικών δεσμών στη X.

Ο Βουαζέν Voisin (2002) απέδειξε ότι οι κλάσεις Τσερν των συνεκτικών δεσμών δίνουν αυστηρά περισσότερες κλάσεις Χοτζ από τις κλάσεις Τσερν των διανυσματικών δεσμών και ότι οι κλάσεις Τσερν των συνεκτικών δεσμών δεν επαρκούν για να δημιουργήσουν όλες τις κλάσεις Χοτζ. Συνεπώς, οι μόνες γνωστές διατυπώσεις της εικασίας Χοτζ για ποικιλίες Κέλερ είναι ψευδείς.

Η γενικευμένη εικασία Χοτζ

Ο Χοτζ διατύπωσε μια πρόσθετη, ισχυρότερη εικασία από την ολοκληρωτική εικασία Χοτζ. Λέμε ότι μια κλάση συνομολογίας στο X είναι συνεπίπεδου c (coniveau c) αν είναι η προωθητική μιας κλάσης συνομολογίας σε ένα c -συνδιαστατική υποποικιλία του X. Οι κλάσεις συνομολογίας με συν-επίπεδο τουλάχιστον c φιλτράρουν τη συνομολογία της X, και είναι εύκολο να δούμε ότι το c βήμα της διήθησης $N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )$ ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη

$N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).$

Η αρχική δήλωση του Χοτζ ήταν:

'Γενικευμένη εικασία του Χοτζ, η εκδοχή του Χοτζ. $N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).$

Ο Γκρότεντιεκ Grothendieck (1969) παρατήρησε ότι αυτό δεν μπορεί να είναι αληθές, ακόμη και με ρητούς συντελεστές, επειδή η δεξιά πλευρά δεν είναι πάντα μια δομή Χοτζ. Η διορθωμένη μορφή της εικασίας Χοτζ είναι η εξής:

Γενικευμένη εικασία του Χοτζ. $N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Q} )$ είναι η μεγαλύτερη υπο-δομή Χοτζ της $H^{k}(X,\mathbf {Z} )$ που περιέχεται στην $H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).$

Αυτή η έκδοση είναι ανοικτή.

Αλγεβρικότητα των τόπων Χοτζ

Η ισχυρότερη απόδειξη υπέρ της εικασίας Χοτζ είναι το αποτέλεσμα της αλγεβρικότητας των Cattani, Deligne & Kaplan (1995). Ας υποθέσουμε ότι μεταβάλλουμε τη μιγαδική δομή του X πάνω σε μια απλά συνδεδεμένη βάση. Τότε η τοπολογική συνομολογία του X δεν αλλάζει, αλλά η αποσύνθεση Χοτζ μεταβάλλεται. Είναι γνωστό ότι αν η εικασία Χοτζ είναι αληθής, τότε ο τόπος όλων των σημείων της βάσης όπου η συνομολογία μιας ίνας είναι κλάση Χοτζ είναι στην πραγματικότητα ένα αλγεβρικό υποσύνολο, δηλαδή αποκόπτεται από πολυωνυμικές εξισώσεις. Οι Κατάνι, Ντελίν & Κάπλαν (1995) απέδειξαν ότι αυτό είναι πάντα αληθές, χωρίς να υποθέσουν την εικασία Χοτζ.

Δημοσιεύσεις

• Atiyah, M. F.; Hirzebruch, F. (1961), «Analytic cycles on complex manifolds», Topology 1: 25–45, doi:10.1016/0040-9383(62)90094-0  Available from the Hirzebruch collection (pdf).
• Cattani, Eduardo; Deligne, Pierre; Kaplan, Aroldo (1995), «On the locus of Hodge classes», Journal of the American Mathematical Society 8 (2): 483–506, doi:10.2307/2152824 .
• Grothendieck, A. (1969), «Hodge's general conjecture is false for trivial reasons», Topology 8 (3): 299–303, doi:10.1016/0040-9383(69)90016-0 .
• Hodge, W. V. D. (1950), «The topological invariants of algebraic varieties», Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Cambridge, MA) 1: 181–192 .
• Kollár, János (1992), «Trento examples», στο: Ballico, E.; Catanese, F.; Ciliberto, C., επιμ., Classification of irregular varieties, Lecture Notes in Math., 1515, Springer, σελ. 134, ISBN 978-3-540-55295-6 .
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel, Paris: Gauthier-Villars  Reprinted in Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7 .
• Moonen, Ben J. J.; Zarhin, Yuri G. (1999), «Hodge classes on abelian varieties of low dimension», Mathematische Annalen 315 (4): 711–733, doi:10.1007/s002080050333 .
• Mumford, David (1969), «A Note of Shimura's paper "Discontinuous groups and abelian varieties"», Mathematische Annalen 181 (4): 345–351, doi:10.1007/BF01350672, http://nrs.harvard.edu/urn-3:HUL.InstRepos:3612771 .
• Rosenschon, Andreas; Srinivas, V. (2016), «Étale motivic cohomology and algebraic cycles», Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 15 (3): 511–537, doi:10.1017/S1474748014000401, Zbl 1346.19004, https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~axr/Lchow.pdf 
• Totaro, Burt (1997), «Torsion algebraic cycles and complex cobordism», Journal of the American Mathematical Society 10 (2): 467–493, doi:10.1090/S0894-0347-97-00232-4 .
• Voisin, Claire (2002), «A counterexample to the Hodge conjecture extended to Kähler varieties», International Mathematics Research Notices 2002 (20): 1057–1075, doi:10.1155/S1073792802111135 .
• Weil, André (1977), Abelian varieties and the Hodge ring, III, σελ. 421–429 
• Zucker, Steven (1977), «The Hodge conjecture for cubic fourfolds», Compositio Mathematica 34 (2): 199–209, http://www.numdam.org/item?id=CM_1977__34_2_199_0 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Ζαν-Πιερ Σερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Deligne, Pierre. «The Hodge Conjecture» (PDF) (The Clay Math Institute official problem description). 
• Popular lecture on Hodge Conjecture by Dan Freed (University of Texas) (Real Video) Αρχειοθετήθηκε 2015-12-22 στο Wayback Machine. (Slides)
• Biswas, Indranil; Paranjape, Kapil Hari (2002), «The Hodge Conjecture for general Prym varieties», Journal of Algebraic Geometry 11 (1): 33–39, doi:10.1090/S1056-3911-01-00303-4 
• Burt Totaro, Why believe the Hodge Conjecture?
• Claire Voisin, Hodge loci

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
• Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157