Εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον

Η εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον, που ονομάστηκε έτσι προς τιμήν των θεωρητικών φυσικών Όσκαρ Κλάιν και Γουόλτερ Γκόρντον, αποτελεί μία σχετικιστική γενίκευση της εξίσωσης Σρέντινγκερ για την κβαντική μηχανική.

Η εξίσωση αυτή κάνει καλή περιγραφή των βαθμωτών και των ψευδοβαθμωτών μποζονίων, δηλαδή των σωματιδίων που έχουν μηδενικό σπιν, ενώ αποτυγχάνει να περιγράψει τα σωματίδια με σπιν διάφορο του μηδενός. Τα τελευταία περιγράφονται καλώς από την Εξίσωση Ντιράκ.

Εξαγωγή της Εξίσωσης

Η βασική ιδέα για τη δημιουργία της εξίσωσης είναι να χρησιμοποιηθούν οι ίδιοι τελεστές που χρησιμοποιούνται για την θέση, την ορμή και την ενέργεια στην εξίσωση Σρέντινγκερ, αλλά πλέον αντί να χρησιμοποιηθεί η κλασσική σχέση για την ενέργεια E=p²/2m, να χρησιμοποιηθεί η σχετικιστική E²=(pc)²+(mc²)².

Οι αντιστοιχίσεις των μεγεθών σε τελεστές στην αναπαράσταση θέσης είναι:

${\hat {E}}\to i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

${\hat {\mathbf {p} }}\to -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}$

Επίσης στην σχετικιστική φυσική και την φυσική υψηλών ενεργειών, είθισται να χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες φυσικές μονάδες στις οποίες:

$c=\hbar =1$

και αυτό θα χρησιμοποιηθεί στο εξής.

Με αντικατάσταση των τελεστών στην σχετικιστική εξίσωση ενέργειας, καταλήγουμε στην παρακάτω εξίσωση:

$\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right]\psi =0$

η οποία είναι η εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον. Για να τη φέρουμε στη συνήθη μορφή της βιβλιογραφίας, θα:

• χρησιμοποιήσουμε την αθροιστική σύμβαση του Αινστάιν, βάσει της οποίας δύο πολλαπλασιαστικές ποσότητες με ίδιο δείκτη, η μία συναλοίωτη (κάτω δείκτης) και η άλλη ανταλλοίωτη (άνω δείκτης), υποννοούν άθροιση σε όλες τις δυνατές τιμές του δείκτη αυτού,
• επιλέξουμε τον μετρικό τανυστή μας να είναι ο μετρικός τανυστής Λόρεντζ, δηλαδή [g_μν]=diag(1,-1,-1,-1) και θα
• συμβολίζουμε με ένα τετράγωνο στην δευτέρα δύναμη τον τελεστή Ντ' Αλεμπέρτ:

$\square ^{2}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu },$

όπου:

$\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)$

Οπότε είναι εμφανές, ότι η εξίσωσή μας πλέον παίρνει την μορφή:

$\left[\square ^{2}+m^{2}\right]\psi =0,$

που είναι η συναλλοίωτη μορφή της εξίσωσης Κλάιν-Γκόρντον.

Εξίσωση συνέχειας

Αντίστοιχα με την εξίσωση Σρέντρινγκερ, μπορούμε να εξάγουμε και εδώ μία εξίσωση συνέχειας, που θα εκφράζει, ελλείψει αλληλεπίδρασης, το ρεύμα της πιθανότητας που υπάρχει λόγω της μεταβολής της πυκνότητας πιθανότητας στο χώρο που μελετάμε.

Ακολουθώντας την ίδια λογική που ακολουθείται στην εξίσωση Σρέντινγκερ, παίρνουμε την εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον και τη μιγαδική συζηγή της:

$\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right]\psi =0$

$\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right]\psi ^{*}=0$

Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά την πρώτη με ψ^* και την δεύτερη με ψ και αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε έχουμε:

$\psi ^{*}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi ^{*}=0$

Με μία παραγοντική ολοκλήρωση καταλήγουμε στην:

$\partial _{\mu }(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})=0$

Συνεπώς αν θέσουμε:

$j^{\mu }\equiv i(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})=i(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -{\text{c.c.}}),$ (με c.c. συμβολίζεται το μιγαδικό συζυγές του πρώτου κομματιού εντός της παρένθεσης),

ως την τετραπυκνότητα πιθανότητας, δηλαδή:

$j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {J} ),$ τότε θα ισχύει η εξίσωση συνέχειας:

$\partial _{\mu }j^{\mu }=0.$

Αποδεικνύεται ότι όντως το j^μ μετασχηματίζεται ως τετράνυσμα, ενώ το i στο ορισμό του, που δεν αλλοιώνει βέβαια την εξίσωση, αφού το δεύτερο μέλος είναι μηδενικό, είναι απαραίτητο για να έχουμε πραγματική πυκνότητα πιθανότητας και ρεύμα, αφού αυτά αποτελούν μετρήσιμα μεγέθη. Αυτά γίνονται εύκολα αντιληπτά από τη μελέτη κυματοσυναρτήσεων ελευθέρων σωματιδίων.

Ελεύθερο σωμάτιο

Η κυματοσυνάρτηση ενός ελευθέρου σωματιδίου είναι η εξής:

$\phi =Ne^{-ipx},$

όπου N είναι η σταθερά κανονικοποίησης και p, x η τετραορμή και η τετραθέση αντιστοίχως.

Θα προβούμε σε υπολογισμό της τετραπυκνότητας πιθανότητας. Έχουμε:

$j^{\mu }=i(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -{\text{c.c.}})=i(N^{*}e^{-ipx}N(-ip^{\mu })e^{ipx}-{\text{c.c.}})=i(-2i|N|^{2}p^{\mu })=2|N|^{2}p^{\mu }\Rightarrow$

$\Rightarrow j^{\mu }=2|N|^{2}p^{\mu }$

Είναι πλέον εμφανές ότι αν δεν είχαμε εισάγει το i στον ορισμό του j^μ τότε αυτό δεν θα έπαιρνε πραγματικές τιμές, ενώ είναι επίσης εμφανές ότι το j^μ ισούται με κάποιες σταθερές επί την τετραορμή και αφού η τετραορμή είναι τετράνυσμα, άρα είναι και η τετραπυκνότητα πιθανότητας όπως ορίστηκε προηγουμένως.

Αναλύωντας τις συνιστώσες του j^μ έχουμε:

$j^{0}=\rho =2|N|^{2}E$

$j^{n},,n=1,2,3,\to \mathbf {J} =2|N|^{2}\mathbf {p}$

Βλέπουμε, δηλαδή, από την πρώτη συνιστώσα, ότι η πυκνότητα πιθανότητας είναι ανάλογη της ενέργειας. Συνήθως, για να μην έχουμε τέτοια εξάρτηση, κανονικοποιούμε σε 2E σωματίδια στον υπό μελέτη όγκο, άρα:

$\int _{V}\rho d^{3}x=2E\Rightarrow 2|N|^{2}EV=2E\Rightarrow |N|={\frac {1}{\sqrt {V}}},$ πράγμα το οποίο δίνει:

$\rho =2{\frac {E}{V}}$

και καταλήγουμε, δηλαδή, σε μία πιο «φυσική» εξάρτηση από την πυκνότητα ενέργειας.

Αρνητικές ενέργειες και αντισωματίδια

Λόγω της χρήσης της σχετικιστικής εξίσωσης για την ενέργεια, έχουμε αλγεβρικά δύο λύσεις για την ενέργεια:

$E=\pm {\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$

Η πρώτη σκέψη των φυσικών της εποχής, ήταν απλά να απορριφθεί η αρνητική λύση ως μη φυσικώς αποδεκτή, αλλά σύντομα έγινε αντιληπτό ότι μπορούσαν να ενσωματώσουν και τις «αρνητικές» ενέργειες με τέτοιο τρόπο, ώστε να κάνουν μέσω αυτών, την περιγραφή των σωματιδίων αντιύλης.

Πιο συγκεκριμένα, θεωρήθηκαν σωμάτια με φορτίο -e, έστω τα ηλεκτρόνια και τα αντισωμάτιά τους. Θεωρήθηκε η τετραπυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος του σωματιδίου ίση με την τετραπυκνότητα πιθανότητας του σωματιδίου πολλαπλασιασμένη με το φορτίο του σωματιδίου, άρα το ρεύμα π.χ. του ηλεκτρονίου θα είναι:

$j^{\mu }=-e2|N|^{2}p^{\mu }=-e2|N|^{2}(E,\mathbf {p} )$

Αντίστοιχα για ποζιτρόνιο θα είναι:

$j^{\mu }=e2|N|^{2}p^{\mu }=-e2|N|^{2}(E,\mathbf {p} )=e2|N|^{2}(-E,-\mathbf {p} )$

Στην τελευταία απλώς το - μετατοπίστηκε στην τετραορμή.

Επίσης για το χρονικό κομμάτι της κυματοσυνάρτησης του ελευθέρου σωματιδίου, μπορούμε να γράψουμε ότι:

$e^{iEt}=e^{i(-E)(-t)}$

Τελικά από αυτά τα δύο τελευταία, βγάζουμε ως συμπέρασμα, ότι μπορούμε να κάνουμε περιγραφή των σωματιδίων αντιύλης με θετική ενέργεια, θεωρώντας τα αντίστοιχα σωματίδια ύλης, να έχουν αρνητική ενέργεια, αντίθετη ορμή και να πηγαίνουν πίσω στο χρόνο.

Αυτό ακριβώς χρησιμοποιείται στα διαγράμματα Φάινμαν, όταν εμπλέκονται σωματίδια αντιύλης.

Βιβλιογραφία

• Halzen, F., & Martin, A. D. (1984). Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics. New York: Wiley.
• Aitchison, I. J., & Hey, A. J. (2003). Gauge theories in particle physics (3rd ed.). New York: Taylor & Francis Group.