Εξίσωση Ντιράκ

Η εξίσωση Ντιράκ, που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του θεωρητικού φυσικού Πολ Ντιράκ, είναι μία εξίσωση της σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει σωματίδια με σπιν. Η πρώτη προσπάθεια για μία σχετικιστική εξίσωση στην κβαντική μηχανική κατέληξε στην εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον, μία γενίκευση της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Το κίνητρο για τη δημιουργία της εξίσωσης Ντιράκ, ήταν να μπορέσει να αποφευχθεί η εμφάνιση αρνητικών ενεργειών μέσω της γραμμικοποίησης της εξίσωσης ως προς την παράγωγο του χρόνου, δηλαδή την ενέργεια. Η γραμμικοποίηση ως προς τον χρόνο επιτεύχθηκε, αλλά η ανάγκη ικανοποίησης της σχετικιστικής σχέσης για την ενέργεια E²=p²+m² (c=1), επανεμφάνισε τις αρνητικές ενέργειες. Το κέρδος τελικά είναι ότι η νέα εξίσωση έχει λύσεις σε μορφή πινάκων, δηλαδή σε «πλουσιότερη» δομή και το σπιν προκύπτει αυθόρμητα μέσα από τις λύσεις της.

Η εξίσωση

Η μορφή

Η γραμμικοποίηση της Κλάιν-Γκόρντον ως προς την χρονική παράγωγο, επιβάλει γραμμικοποίηση και στην κλίση (ανάδελτα), ώστε να είναι η εξίσωση σε συναλλοίωτη μορφή. Τελικά στην εξίσωση δόθηκε η γενική μορφή:

$i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+\beta m\right)\psi$

ή διαφορετικά:

$H\psi =({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {P} +\beta m)\psi$

η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί επί πλέον την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας-ορμής (και εδώ είναι που εισέρχονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες):

$H^{2}\psi =(\mathbf {P} ^{2}+m^{2})\psi$

Οι σταθερές α_i, i=1,2,3 και β, είναι αρχικά αυθαίρετες και καθορίζονται μετέπειτα από ιδιότητες που προκύπτουν από την εξίσωση για την ικανοποίηση της σχετικιστικής ενέργειας.

Οι σταθερές α_i και β

Συγκεκριμένα ισχύει:

$H^{2}\psi =({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {P} +\beta m)^{2}\psi =(\alpha _{i}P_{i}+\beta m)(\alpha _{j}P_{j}+\beta m)\psi =$

$=(\alpha _{i}^{2}P_{i}^{2}+(\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i})P_{i}P_{j}+(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})P_{i}m+\beta ^{2}m^{2})\psi =$

$=(\mathbf {P} ^{2}+m^{2})\psi$

Η τελευταία ισότητα φυσικά αποτελεί απαίτηση ώστε να δίνει η εξίσωσή μας, την σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.

Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής:

$\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\Leftrightarrow \{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=0\,\,,i\neq j$

$\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0\Leftrightarrow \{\alpha _{i},\beta \}=0\,\,,i=1,2,3$

$\alpha _{i}^{2}=1$

$\beta ^{2}=1$

Συνεπώς προκύπτει ως συμπέρασμα από τις δύο πρώτες σχέσεις, ότι τα α_i και β αντιμετατίθενται όλα μεταξύ τους και επομένως δεν είναι απλοί αριθμοί. Ιδιότητα μη μετάθεσης εμφανίζουν οι πίνακες και επομένως τα α_i και ο β είναι πίνακες με τις παραπάνω ιδιότητες.

Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες α_i και β, είναι ερμιτιανοί, άιχνοι (μηδενικό ίχνος πίνακα), έχουν άρτια διάσταση και ιδιοτιμές ±1 .

Βιβλιογραφία

• Halzen, F., & Martin, A. D. (1984). Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics. New York: Wiley.
• Aitchison, I. J., & Hey, A. J. (2003). Gauge theories in particle physics (3rd ed.). New York: Taylor & Francis Group.