Στην γραμμική άλγεβρα, το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν πίνακα διαστάσεων το ίχνος του ορίζεται ως[1]:36[2]:178[3]:14[4]:218

.

Για παράδειγμα,

και .

Ο συμβολισμός προέρχεται από τα δύο πρώτα γράμματα της αγγλικής λέξης trace, που σημαίνει ίχνος.[2]:178 Στην ελληνική βιβλιογραφία συμβολίζεται και ως ιχν..

ΠαραδείγματαΕπεξεργασία

  • Για γενικούς τετραγωνικούς πίνακες διαστάσεων   για  , ισχύει ότι:
 .
  • Για τον ταυτοτικό πίνακα  , ισχύει ότι  . Για παράδειγμα, για  :
 .
  • Για τον μηδενικό πίνακα  , ισχύει ότι  .
  • Για κάθε αντισυμμετρικό πίνακα  ,  , καθώς τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι  .[1]:36 Για παράδειγμα:
 .

ΙδιότητεςΕπεξεργασία

  • Το ίχνος είναι μία γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε πίνακες   και   ίδιων διαστάσεων και κάθε στοιχείο   έχουμε ότι   και  .[2]:195
  • Το ίχνος του γινομένου είναι ανεξάρτητο της σειράς του πολλαπλασιασμού,  .[3]:41
  • Το ίχνος ενός πίνακα ισούται με το ίχνος του ανάστροφου πίνακα,  .
  • Για δύο όμοιους πίνακες   και  ,  .
  • Αν   είναι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα  , τότε  .[4]:218[5]:17[6]:182

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. 1,0 1,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
  3. 3,0 3,1 Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη. 
  4. 4,0 4,1 Σιμσερίδης, Κωνσταντίνος (2015). Κβαντική οπτική και lasers. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-073-4. 
  5. Αδάμ, Μ.· Πλαγιανάκος, Β. «Ειδικά θέματα Αριθμητικής Ανάλυσης και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών: Κανονικές μορφές» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 23 Αυγούστου 2022. 
  6. Κομηνέας, Σ.· Χαρμανδάρης, Ευ. (2016). Μαθηματική μοντελοποίηση: Μία σπουδή στις θετικές επιστήμες. 2016: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-425-1.