Μηδενικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο μηδενικός πίνακας είναι ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδέν 0. Ο πίνακας διαστάσεων $n\times m$ συμβολίζεται ως $\mathbf {0} _{n,m}$ και $(\mathbf {0} _{n,m})_{ij}$, για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$. Ή διαγραμματικά,

$\mathbf {0} _{n,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\\0&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$

Όταν οι διαστάσεις του είναι ξεκάθαρες, συμβολίζεται απλά ως $\mathbf {0}$. Γενικότερα, σε έναν δακτύλιο το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στον μηδενικό πίνακα.

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα μηδενικών πινάκων για διάφορες διαστάσεις:

$\mathbf {0} _{2,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \mathbf {0} _{3,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{3\times 2}\qquad \mathbf {0} _{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{2\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,1}=\underbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}} _{3\times 1}\qquad \mathbf {0} _{1,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}} _{1\times 3}\qquad$

Ιδιότητες

Ο μηδενικός πίνακας $\mathbf {0} _{n,m}$,

• Είναι το ουδέτερο στοιχείο των πινάκων με πράξη την πρόσθεση πινάκων διαστάσεων $n\times m$. Δηλαδή, για κάθε πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times m$, ισχύει ότι

$A+\mathbf {0} _{n,m}=\mathbf {0} _{n,m}+A=A$.

• Είναι συμμετρικός, καθώς $(\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0$, για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$.
• Είναι αντισυμμετρικός, καθώς $(\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=-(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0$, για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$.
• Είναι διαγώνιος, καθώς $(\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=0$ (και) για κάθε $i=j$.
• Έχει ίχνος $\mathrm {tr} (\mathbf {0} _{n,m})=0$.
• Έχει ορίζουσα $\mathrm {det} (\mathbf {0} _{n,m})=0$ και έτσι είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας.

Μηδενικό διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα $(0,0,\ldots ,0)\in R^{n}$ σε έναν δακτύλιο $R$ (για παράδειγμα $R=\mathbb {R}$ ή $R=\mathbb {C}$) συμβολίζεται ως $\mathbf {0}$ και είναι μία ειδική περίπτωση του μηδενικού πίνακα. Συγκεκριμένα, για $m=1$ παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα στήλης

$\mathbf {0} _{n,1}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},$

και για $n=1$ το μηδενικό διάνυσμα γραμμής

$\mathbf {0} _{1,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$