Εξίσωση ευθείας

Στα μαθηματικά, γραμμική εξίσωση (ή πρωτοβάθμια εξίσωση ή εξίσωση ευθείας) είναι μία αλγεβρική εξίσωση στην οποία κάθε όρος είναι είτε σταθερός ή γινόμενο σταθερού όρου επί μίας απλής μεταβλητής (μέχρι την πρώτη δύναμή της). Για μία μεταβλητή $x$ , η εξίσωση έχει την μορφή

\alpha x+\beta =0

,

όπου $\alpha ,\beta$ είναι οι σταθεροί συντελεστές της εξίσωσης και $\alpha \neq 0$ .

Στην γενική μορφή με $n$ μεταβλητές $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , η εξίσωση έχει τη μορφή

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}+\beta =0

,

όπου οι συντελεστές $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ δεν είναι όλοι μηδέν.

Εξίσωση ευθείας δύο μεταβλητών

Μία μορφή εξίσωσης ευθείας δύο μεταβλητών x και y είναι

y=mx+b\,

όπου m και b είναι σταθερές. Η προέλευση του ονόματος "γραμμική" προέρχεται από το γεγονός ότι το σύνολο των λύσεων μιας τέτοιας εξίσωσης σχηματίζει μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο. Στη συγκεκριμένη εξίσωση, ο συντελεστής m καθορίζει την κλίση ή κλίση της ευθείας αυτής, καθώς και ο σταθερό όρος "b" προσδιορίζει το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

Γενική Μορφή

Η γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας είναι

\alpha x+\beta y+\gamma =0

,

όπου $\alpha$ και $\beta$ δεν είναι συγχρόνως ίσα με το μηδέν. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης είναι μία ευθεία γραμμή, και κάθε ευθεία γραμμή του επιπέδου μπορεί να παρασταθεί από την παραπάνω εξίσωση της ευθείας.

Εξίσωση ευθείας που δίνεται σημείο της και ο συντελεστής διεύθυνσης

y-y_{0}=m(x-x_{0})\,

όπου m είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και (x₀,y₀) είναι ένα σημείο της.

Εξίσωση ευθείας που δίνονται δύο σημεία της

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})

όπου $(x_{1},y_{1})$ and $(x_{2},y_{2})$ είναι δύο σημεία της ευθείας με $x_{2}$ ≠ $x_{1}$ . Αυτή η μορφή είναι ισοδύναμη με την παραπάνω, καθώς ο συντελεστής διεύθυνσης m δίνεται από τη σχέση

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

Πολική μορφή εξίσωση ευθείας

r={\frac {mr\cos \theta +b}{\sin \theta }}

όπου m είναι ο συντελεστής διεύθυνσης και b ο σταθερός όρος. Όταν θ = 0 τότε δεν ορίζεται η πολική μορφή της εξίσωσης τη ευθείας. Η εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή:

r\sin \theta =mr\cos \theta +b\,

Ειδικές περιπτώσεις

y=b\,

Αυτή η μορφή παράγεται από τη γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας όταν A = 0 και B = 1. Η γραφική της παράσταση είναι μια οριζόντια ευθεία (παράλληλη με τον άξονα x) που τέμνει το άξονα y στο b.

x=a\,

Αυτή η μορφή παράγεται από τη γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας όταν A = 1 και B = 0. Η γραφική της παράσταση είναι μια κατακόρυφη ευθεία (παράλληλη με τον άξονα y) που τέμνει το άξονα x στο a. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας δεν ορίζεται.