Θεωρία Πικάρ-Λέφσετζ

Στα μαθηματικά, η θεωρία Πικάρ-Λέφσετζ μελετά την τοπολογία μιας σύνθετης πολλαπλότητας εξετάζοντας τα κρίσιμα σημεία μιας ολόμορφης συνάρτησης στην πολλαπλότητα. Εισήχθη από τον Εμίλ Πικάρ για σύνθετες επιφάνειες στο βιβλίο του Πικάρ & Σιμάρ (1897) και επεκτάθηκε σε υψηλότερες διαστάσεις από τον Σόλομον Λέφσετζ (1924). Είναι ένα μιγαδικό ανάλογο της θεωρίας Μορς που μελετά την τοπολογία μιας πραγματικής πολλαπλότητας εξετάζοντας τα κρίσιμα σημεία μιας πραγματικής συνάρτησης. Οι Πιερ Ντελίν και Νίκολας Κατζ (1973) επέκτειναν τη θεωρία Πικάρ-Λέφσετζ σε ποικιλίες επί γενικότερων σωμάτων, και ο Ντελίν χρησιμοποίησε αυτή τη γενίκευση στην απόδειξη των εικασιών του Βέιλ.

Τύπος Πικάρ-Λέφσετζ

Ας θεωρήσουμε ότι η f είναι ένας ολομορφικός χάρτης από μια (k+1)-διάστατη προβολική μιγαδική πολλαπλότητα στην προβολική γραμμή P¹. Ας υποθέσουμε επίσης ότι όλα τα κρίσιμα σημεία είναι μη εκφυλισμένα και βρίσκονται σε διαφορετικές ίνες και έχουν εικόνες x₁,...,x_n in P¹. Ας επιλέξουμε οποιοδήποτε άλλο σημείο x στην P¹. Η θεμελιώδης ομάδα π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) παράγεται από βρόχους wi που πηγαίνουν γύρω από τα σημεία w_i, και σε κάθε σημείο x_i υπάρχει ένας εξαφανιζόμενος κύκλος στην ομολογία Hk(Yx) της ίνας στο  x. Να σημειωθεί ότι αυτή είναι η μέση ομολογία αφού η ίνα έχει μιγαδική διάσταση k, άρα πραγματική διάσταση 2k. Η μονοδρομική δράση της π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) στην H_k(Y_x)περιγράφεται ως εξής από τον τύπο Πικάρ-Λέφσετζ. (Η δράση της μονοδρομίας σε άλλες ομολογικές ομάδες είναι τετριμμένη.) Η δράση της μονοδρομίας μιας γεννήτριας w_i της θεμελιώδους ομάδας επί της $\gamma$ ∈ H_k(Y_x) παρέχεται από τη σχέση

$w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}$

όπου δ_i είναι ο μηδενιζόμενος κύκλος του x_i. Ο τύπος αυτός εμφανίζεται σιωπηρά για k = 2 (χωρίς τους ρητούς συντελεστές των κύκλων φυγής δ_i) στους Πικάρ & Σιμάρ Picard & Simart (1897, p.95). Ο Λέφσετζ (Lefschetz (1924, chapters II, V)) έδωσε τον ρητό τύπο σε όλες τις διαστάσεις.

Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε την προβολική οικογένεια υπερελιπτικών καμπυλών γένους $g$ που ορίζεται από

$y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})$

όπου $t\in \mathbb {A} ^{1}$ είναι η παράμετρος και $k=2g+1$. Τότε, αυτή η οικογένεια έχει εκφυλισμούς διπλού σημείου όποτε $t=a_{i}$. Εφόσον η καμπύλη είναι ένα συνδεδεμένο άθροισμα από $g$ τόροι, η μορφή τομής στην $H_{1}$ μιας γενικής καμπύλης είναι ο πίνακας

${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τον τύπο Πικάρ-Λέφσετζ γύρω από έναν εκφυλισμό στο $\mathbb {A} _{t}^{1}$. Ας υποθέσουμε ότι $\gamma ,\delta$ είναι οι $1$-κύκλοι από τον $j$-οστό τόρο. Τότε, ο τύπος Πικάρ-Λέφσετζ έχει ως εξής

$w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta$

αν ο $j$-th τόρος περιέχει τον μηδενιζόμενο κύκλο. Διαφορετικά είναι ο χάρτης ταυτότητας.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Πιερ Ντελίν
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces
• O-Minimality and Diophantine Geometry
• Applied Picard-Lefschetz Theory
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Deligne, Pierre; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, 340, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6 
• Lamotke, Klaus (1981), «The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz», Topology 20 (1): 15–51, doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6, ISSN 0040-9383 
• Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars 
• Lefschetz, Solomon (1975), Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and Feynman integrals, Applied Mathematical Sciences, 16, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90137-4, https://books.google.com/books?id=eqCyQgAACAAJ 
• Picard, É.; Simart, G. (1897), Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I, Paris: Gauthier-Villars et Fils., https://archive.org/details/thoriedesfoncti00simagoog 
• Vassiliev, V. A. (2002), Applied Picard–Lefschetz theory, Mathematical Surveys and Monographs, 97, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/097, ISBN 978-0-8218-2948-6