Θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ

Στα μαθηματικά, το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ είναι μια διατύπωση σχετικά με τις κυβικές καμπύλες (επίπεδες καμπύλες τρίτου βαθμού) στο προβολικό επίπεδο P². Η αρχική μορφή του δηλώνει:

Εικόνα για το θεώρημα των 9-σημείων, ειδική περίπτωση, όταν τόσο το C₁ όσο και το C₂ είναι ενώσεις 3 γραμμών

Ας υποθέσουμε ότι δύο κυβικές C₁ και C₂ στο προβολικό επίπεδο συναντώνται σε εννέα (διαφορετικά) σημεία, όπως συμβαίνει γενικά πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα. Τότε κάθε κυβικό που διέρχεται από ένα από τα οκτώ σημεία διέρχεται και από το ένατο σημείο.

Μια πιο εγγενής μορφή του θεωρήματος Κέιλι-Μπάχαραχ έχει ως εξής:

Κάθε κυβική καμπύλη C πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα που διέρχεται από ένα δεδομένο σύνολο οκτώ σημείων P₁, ..., P₈ διέρχεται επίσης (μετρώντας πολλαπλασιασμούς) από ένα ένατο σημείο P₉ το οποίο εξαρτάται μόνο από το P₁, ..., P₈.

Ένα σχετικό αποτέλεσμα για τις κωνικές αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο γεωμέτρη Μισέλ Σασλς και αργότερα γενικεύτηκε στις κυβικές από τους Άρθουρ Κέιλι και Ισαάκ Μπάχαραχ.

Λεπτομέρειες

Αν επτά από τα σημεία P₁, ..., P₈ βρίσκονται πάνω σε μια Κωνική τομή, τότε το ένατο σημείο μπορεί να επιλεγεί πάνω σε αυτή την Κωνική τομή, αφού το C θα περιέχει πάντα ολόκληρη την κωνική λόγω του θεωρήματος του Μπεζού. Σε άλλες περιπτώσεις, έχουμε τα εξής.

Αν κανένα από τα επτά σημεία μεταξύ των P₁, ..., P₈ δεν είναι συγκωνικό, τότε ο διανυσματικός χώρος των κυβικών ομογενών πολυωνύμων που μηδενίζονται πάνω (στους αφινικούς κώνους των) P₁, ..., P₈ (με πολλαπλότητα για τα διπλά σημεία) έχει διάσταση δύο.

Σε αυτή την περίπτωση, κάθε κυβικό μέσω των P₁, ..., P₈ διέρχεται επίσης από την τομή οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών κυβικών μέσω των P₁, ..., P₈, η οποία έχει τουλάχιστον εννέα σημεία (πάνω στο αλγεβρικό κλείσιμο) λόγω του θεωρήματος του Μπεζού. Τα σημεία αυτά δεν μπορούν να καλυφθούν μόνο από τα P₁, ..., P₈, γεγονός που μας δίνει το P₉.

Δεδομένου ότι οι εκφυλισμένες κωνικές είναι ένωση το πολύ δύο ευθειών, υπάρχουν πάντα τέσσερα από τα επτά σημεία μιας εκφυλισμένης κωνικής που είναι συγγραμμικά. Κατά συνέπεια:

Αν κανένα από τα επτά σημεία των P₁, ..., P₈ δε βρίσκεται πάνω σε μη εκφυλισμένη κωνική και κανένα από τα τέσσερα σημεία των P₁, ..., P₈ δε βρίσκεται πάνω σε ευθεία, τότε ο διανυσματικός χώρος των κυβικών ομογενών πολυωνύμων που εξαφανίζονται (στους αφινικούς κώνους των) P₁, ..., P₈ έχει διάσταση δύο.

Από την άλλη πλευρά, ας υποθέσουμε ότι τα P₁, P₂, P₃, P₄ είναι συγγραμμικά και ότι κανένα από τα επτά σημεία P₁, ..., P₈ δεν είναι συγκωνικό. Τότε κανένα πέντε σημείο από τα P₁, ..., P₈ και κανένα τρίτο σημείο από τα P₅, P₆, P₇, P₈ δεν είναι συγγραμμικά. Εφόσον ο C θα περιέχει πάντα ολόκληρη την ευθεία που διέρχεται από τα P₁, P₂, P₃, P₄ λόγω του θεωρήματος του Μπεζού, ο διανυσματικός χώρος των κυβικών ομογενών πολυωνύμων που εξαφανίζονται (στους αφινικούς κώνους των) P₁, ..., P₈ είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο των τετραγωνικών ομογενών πολυωνύμων που μηδενίζονται (στους αφινικούς κώνους των) P₅, P₆, P₇, P₈, ο οποίος έχει διάσταση δύο.

Παρόλο που τα σύνολα των συνθηκών και για τα δύο αποτελέσματα των διαστάσεων δύο είναι διαφορετικά, είναι και τα δύο αυστηρά ασθενέστερα από τις πλήρεις γενικές θέσεις: τρία σημεία επιτρέπεται να είναι συγγραμμικά, και έξι σημεία επιτρέπεται να βρίσκονται σε μια κωνική (γενικά δύο σημεία καθορίζουν μια γραμμή και πέντε σημεία καθορίζουν μια κωνική). Για το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ, είναι απαραίτητο να έχουμε μια οικογένεια κυβικών που περνούν από τα εννέα σημεία, αντί για ένα μόνο.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Μπεζού, δύο διαφορετικές κυβικές καμπύλες πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα που δεν έχουν κοινή μη αναγώγιμη συνιστώσα συναντώνται σε ακριβώς εννέα σημεία (υπολογίζονται με πολλαπλότητα). Το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ ισχυρίζεται έτσι ότι το τελευταίο σημείο τομής οποιωνδήποτε δύο μελών της οικογένειας των καμπυλών δεν μετακινείται εάν οκτώ σημεία τομής (χωρίς τα επτά συγκυριακά) είναι ήδη προδιαγεγραμμένα.

Εφαρμογές

Μια ειδική περίπτωση είναι το θεώρημα του Πασκάλ, στο οποίο οι δύο εν λόγω κύβοι είναι όλοι εκφυλισμένοι: θεωρώντας έξι σημεία σε μια κωνική (ένα εξάγωνο), ας εξετάσουμε τις γραμμές που προκύπτουν από την προέκταση των αντίθετων πλευρών - αυτό δίνει δύο κύβους με τρεις γραμμές ο καθένας, οι οποίοι τέμνονται σε 9 σημεία - τα 6 σημεία της κωνικής και 3 άλλα. Αυτά τα 3 επιπλέον σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία, επειδή η κωνική συν την ευθεία που διέρχεται από δύο από τα σημεία είναι ένας κύβος που διέρχεται από 8 από τα σημεία.

Μια δεύτερη εφαρμογή είναι το θεώρημα του εξαγώνου του Πάππου, παρόμοιο με το παραπάνω, αλλά τα έξι σημεία βρίσκονται σε δύο ευθείες αντί σε μια κωνική.

Τέλος, βρέθηκε μια τρίτη περίπτωση για την απόδειξη της προσεταιριστικότητας της πρόσθεσης σημείων ελλειπτικών καμπυλών. Έστω μια πρώτη κυβική που περιέχει τις τρεις γραμμές BC, O(A+B) και A(B+C)- και μια δεύτερη κυβική που περιέχει τις τρεις γραμμές AB, O(B+C) και C(A+B). Τα ακόλουθα οκτώ σημεία είναι κοινά και στους δύο κύβους: Επομένως, τα ένατα σημεία τους πρέπει να είναι τα ίδια -A-(B+C)=-(A+B)-C, δίνοντας τη προσεταιριστικότητα.

Μέτρηση διαστάσεων

Μπορεί κανείς να κατανοήσει το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ, και γιατί προκύπτει για βαθμό 3, με την καταμέτρηση των διαστάσεων. Με απλά λόγια, εννέα σημεία καθορίζουν ένα κυβικό, αλλά γενικά ορίζουν ένα μοναδικό κυβικό. Έτσι, αν τα εννέα σημεία βρίσκονται σε περισσότερα από ένα κυβικά, ισοδύναμα στην τομή δύο κυβικών (όπως 3 × 3 = 9), δεν είναι γενικά στη θέση τους - είναι υπερκαθορισμένα κατά μία διάσταση - και έτσι τα κυβικά που περνούν από αυτά ικανοποιούν έναν επιπλέον περιορισμό, όπως αντικατοπτρίζεται στην ιδιότητα οκτώ συνεπάγεται εννέα. Το γενικό φαινόμενο ονομάζεται υπερπληθώρα- βλέπε θεώρημα Ρίμαν-Ροχ για τις επιφάνειες.

Λεπτομέρειες

Τυπικά, ας θυμηθούμε πρώτα ότι, με δεδομένες δύο καμπύλες βαθμού d, ορίζεται ένα δέσμημα (μονοπαραμετρικό γραμμικό σύστημα) καμπυλών βαθμού d με τη λήψη προβολικών γραμμικών συνδυασμών των εξισώσεων ορισμού- αυτό αντιστοιχεί σε δύο σημεία που καθορίζουν μια προβολική γραμμή στον παραμετρικό χώρο των καμπυλών, ο οποίος είναι απλά ο προβολικός χώρος.

Το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ προκύπτει για υψηλούς βαθμούς επειδή ο αριθμός των σημείων τομής δύο καμπυλών βαθμού d, δηλαδή d² (σύμφωνα με το θεώρημα του Μπεζού), αυξάνεται γρηγορότερα από τον αριθμό των σημείων που απαιτούνται για τον ορισμό μιας καμπύλης βαθμού d, ο οποίος δίνεται από τη σχέση

${\frac {(d+1)(d+2)}{2}}-1={\frac {d^{2}+3d}{2}}.$

Αυτά ταιριάζουν πρώτα για d = 3, γι' αυτό και το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ εμφανίζεται για κυβικά, ενώ για μεγαλύτερους βαθμούς d² είναι μεγαλύτερο, εξ ου και οι γενικεύσεις υψηλότερων βαθμών.

Αναλυτικά, ο αριθμός των σημείων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό μιας καμπύλης βαθμού d είναι ο αριθμός των μονοωνύμων βαθμού d, μείον 1 από την προβολοποίηση. Για τα πρώτα d αυτά δίνουν:

• d = 1: 2 και 1: δύο σημεία καθορίζουν μια ευθεία, δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο,
• d = 2: 5 και 4: πέντε σημεία καθορίζουν μια κωνική, δύο κωνικές τέμνονται σε τέσσερα σημεία,
• d = 3: 9 και 9: εννέα σημεία καθορίζουν ένα κυβικό, δύο κυβικά τέμνονται σε εννέα σημεία,
• d = 4: 14 και 16.

Έτσι, αυτές οι πρώτες συμφωνούν για 3, και ο αριθμός των διασταυρώσεων είναι μεγαλύτερος όταν d > 3.

Αυτό σημαίνει ότι τα 9 σημεία τομής δύο κυβικών βρίσκονται σε ειδική θέση σε σχέση με τις κυβικές, πολύ περισσότερο για τον υψηλότερο βαθμό, αλλά αντίθετα για τον χαμηλότερο βαθμό: δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο είναι τετριμμένα σε γενική γραμμική θέση, και δύο τετραγωνικές τέμνονται σε τέσσερα σημεία, τα οποία (υποθέτοντας ότι οι τετραγωνικές είναι μη αναγώγιμες, οπότε κανένα από τα τρία σημεία δεν είναι συγγραμμικά ) είναι σε γενική τετραγωνική θέση, επειδή πέντε σημεία καθορίζουν μια τετραγωνική, και οποιαδήποτε τέσσερα σημεία (σε γενική γραμμική θέση) έχουν ένα μολύβι τετραγωνικών μέσω αυτών, αφού το σύστημα είναι υποκαθορισμένο. Για τα κυβικά, εννέα σημεία προσδιορίζουν ένα κυβικό, αλλά γενικά προσδιορίζουν ένα μοναδικό κυβικό - επομένως το να περνούν από αυτά δύο διαφορετικά κυβικά (και άρα ένα δεσμήμα) είναι κάτι το ιδιαίτερο - ο χώρος λύσεων είναι κατά μία διάσταση υψηλότερος από το αναμενόμενο, και έτσι οι λύσεις ικανοποιούν έναν επιπλέον περιορισμό, δηλαδή την ιδιότητα "8 συνεπάγεται 9".

Πιο συγκεκριμένα, επειδή ο διανυσματικός χώρος των ομογενών πολυωνύμων P(x, y, z) τρίτου βαθμού σε τρεις μεταβλητές x, y, z έχει διάσταση 10, το σύστημα των κυβικών καμπυλών που διέρχεται από οκτώ (διαφορετικά) σημεία παραμετροποιείται από έναν διανυσματικό χώρο διάστασης ≥ 2 (η μηδένιση του πολυωνύμου σε ένα σημείο επιβάλλει μια απλή γραμμική συνθήκη). Μπορεί να αποδειχθεί ότι η διάσταση είναι ακριβώς δύο αν κανένα από τα τέσσερα σημεία δεν είναι συγγραμμικό και κανένα από τα επτά σημεία δεν βρίσκεται σε κωνική. Το θεώρημα Κέιλι-Μπάχαραχ μπορεί να συναχθεί από αυτό το γεγονός.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Πιερ Ντελίν
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Τοπολογία Ζαρίσκι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Facets of Algebraic Geometry: Volume 1: A Collection in Honor of William ...
• Noether-Lefschetz Theory and the Picard Group of Projective Surfaces
• Commutative Algebra: Expository Papers Dedicated to David Eisenbud on the ...
• Fifth International Congress of Chinese Mathematicians, Μέρος 2
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Michel Chasles, Traité des sections coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
• Bacharach, Isaak (1886), «Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz», Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 26 (2): 275–299, doi:10.1007/BF01444338, ISSN 0025-5831, https://zenodo.org/record/1597376 
• Cayley, Arthur (1889), On the Intersection of Curves, Cambridge: Cambridge University Press 
• Edward D. Davis, Anthony V. Geramita, and Ferruccio Orecchia, Gorenstein algebras and Cayley–Bacharach theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597.
• David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris, Cayley–Bacharach theorems and conjectures, Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295—324. MR1376653
• Katz, Gabriel (2005). «Curves in cages: an algebro-geometric zoo». arXiv:math/0508076.