Θεώρημα κέντρου βάρους του Πάππου

Στη γεωμετρία, το θεώρημα κέντρου βάρους του Πάππου, που είναι επίσης γνωστό και ως θεώρημα του Πάππου ή θεώρημα του Γκούλντιν, ή θεώρημα των Πάππου–Γκούλντιν, αφορά τα δύο σχετικά θεωρήματα που ασχολούνται με το εμβαδόν και τον όγκο των επιφανειών και των στερεών εκ περιστροφής.

Το θεώρημα καθώς εφαρμόζεται σε έναν ανοικτό κύλινδρο, έναν κώνο και μια σφαίρα για να ληφθεί το εμβαδόν της επιφανείας τους. Τα κέντρα βάρους βρίσκονται σε απόσταση a (με κόκκινο χρώμα) από τον άξονα περιστροφής.

Το θεώρημα αποδίδεται στον Πάππο τον Αλεξανδρέα και εξίσου στον Πολ Γκούλντιν (Paul Guldin).

Πρώτο θεώρημα

Το πρώτο θεώρημα δηλώνει ότι το εμβαδόν A της επιφανείας εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή μιας επίπεδης καμπύλης C γύρω από έναν άξονα που βρίσκεται εκτός της C και στο ίδιο επίπεδο με αυτήν, είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του τόξου s της C και την απόσταση d που διένυσε από το γεωμετρικό κέντρο βάρους της.

$A=sd.\,$

Για παράδειγμα, το εμβαδόν της επιφανείας του τόρου με ελάσσονα ακτίνα r και μείζονα ακτίνα R είναι

$A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.\,$

Δεύτερο θεώρημα

Το δεύτερο θεώρημα αναφέρει ότι ο όγκος V ενός στερεού εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος F γύρω από έναν εξωτερικό άξονα, είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού Α του F και την απόσταση d που διένυσε από το γεωμετρικό κέντρο βάρους του.

$V=Ad.\,$

Για παράδειγμα, ο όγκος του τόρου με ελάσσονα ακτίνα r και μείζονα ακτίνα R είναι

$V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\,$

Γενικεύσεις

Το θεώρημα, υπό κατάλληλες συνθήκες, μπορεί να γενικευθεί για αυθαίρετες καμπύλες και σχήματα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Pappus's Centroid Theorem" από το MathWorld.