Θεώρημα κέντρου βάρους του Πάππου
Στη γεωμετρία, το θεώρημα κέντρου βάρους του Πάππου, που είναι επίσης γνωστό και ως θεώρημα του Πάππου ή θεώρημα του Γκούλντιν, ή θεώρημα των Πάππου–Γκούλντιν, αφορά τα δύο σχετικά θεωρήματα που ασχολούνται με το εμβαδόν και τον όγκο των επιφανειών και των στερεών εκ περιστροφής.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Pappus_centroid_theorem_areas.gif/400px-Pappus_centroid_theorem_areas.gif)
Το θεώρημα αποδίδεται στον Πάππο τον Αλεξανδρέα και εξίσου στον Πολ Γκούλντιν (Paul Guldin).
Πρώτο θεώρημα
ΕπεξεργασίαΤο πρώτο θεώρημα δηλώνει ότι το εμβαδόν A της επιφανείας εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή μιας επίπεδης καμπύλης C γύρω από έναν άξονα που βρίσκεται εκτός της C και στο ίδιο επίπεδο με αυτήν, είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του τόξου s της C και την απόσταση d που διένυσε από το γεωμετρικό κέντρο βάρους της.
Για παράδειγμα, το εμβαδόν της επιφανείας του τόρου με ελάσσονα ακτίνα r και μείζονα ακτίνα R είναι
Δεύτερο θεώρημα
ΕπεξεργασίαΤο δεύτερο θεώρημα αναφέρει ότι ο όγκος V ενός στερεού εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος F γύρω από έναν εξωτερικό άξονα, είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού Α του F και την απόσταση d που διένυσε από το γεωμετρικό κέντρο βάρους του.
Για παράδειγμα, ο όγκος του τόρου με ελάσσονα ακτίνα r και μείζονα ακτίνα R είναι
Γενικεύσεις
ΕπεξεργασίαΤο θεώρημα, υπό κατάλληλες συνθήκες, μπορεί να γενικευθεί για αυθαίρετες καμπύλες και σχήματα.[1]
Παραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Goodman, A. W.· Goodman, G. «Generalizations of the Theorems of Pappus». The American Mathematical Monthly. Ανακτήθηκε στις 28 Ιουνίου 2014.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Επεξεργασία- Weisstein, Eric W., "Pappus's Centroid Theorem" από το MathWorld.