Εμβαδόν

Εμβαδόν ή έκταση είναι το μέγεθος μέτρησης των επιφανειών. Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα ${\rm {E}}$ ή το γράμμα ${\rm {A}}$ (το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως στην επιφάνεια διατομής). Η μονάδα μέτρησης στο διεθνές σύστημα είναι το 1m². Το εμβαδόν θεωρείται ένα βασικό μέγεθος των δισδιάστατων σχημάτων, όπως τα τετράγωνα και οι κύκλοι, τα οποία δεν έχουν όγκο. Όταν αναφέρεται σε τρισδιάστατα σχήματα συνήθως εννοείται το εμβαδόν της εξωτερικής επιφάνειας του σώματος.

Λίστα τύπων υπολογισμού εμβαδού διαφόρων σχημάτων

Παρακάτω δίνονται οι τύποι για τον υπολογισμό των πιο κοινών γεωμετρικών σχημάτων.

Τρίγωνο

Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ισχύουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του

• Αν $\upsilon _{\rm {A}},\upsilon _{\rm {B}},\upsilon _{\rm {\Gamma }}$ είναι τα ύψη του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \upsilon _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \beta \cdot \upsilon _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \upsilon _{\rm {\Gamma }}$.

• (Τύπος του Ήρωνα) Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$, έχουμε ότι

${\rm {E}}={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$,

όπου $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος.

• Αν ${\hat {\rm {A}}}$, ${\hat {\rm {B}}}$, ${\hat {\rm {\Gamma }}}$ οι γωνίες του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\beta \gamma \sin {\hat {\rm {A}}}={\tfrac {1}{2}}\alpha \gamma \sin {\hat {\rm {B}}}={\tfrac {1}{2}}\alpha \beta \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}=\tau \cdot \rho$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος και $\rho _{\rm {A}},\rho _{\rm {B}},\rho _{\rm {\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}$.

• Αν $\tau$ είναι η ημιπερίμετρος, $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένος κύκλος και $\rho _{\rm {A}},\rho _{\rm {B}},\rho _{\rm {\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

${\rm {E}}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}$.

• Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι ${\rm {A}}=(x_{\rm {A}},y_{\rm {A}})$, ${\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}})$ και ${\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }})$, τότε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{\rm {A}}&y_{\rm {A}}&1\\x_{\rm {B}}&y_{\rm {B}}&1\\x_{\rm {\Gamma }}&y_{\rm {\Gamma }}&1\\\end{vmatrix}}.$

Ειδικά τρίγωνα

• (Ισόπλευρο τρίγωνο) Το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου με μήκος πλευράς $x$ είναι

${\rm {E}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}x^{2}$.

• (Ορθογώνιο τρίγωνο) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με ${\hat {\rm {A}}}=90^{\circ }$ είναι

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\beta \cdot \gamma$.

Τετράπλευρο

• (Τύπος Bretschneider) Το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και ημιπερίμετρο ${\rm {\tau }}$ είναι

${\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\alpha \beta \gamma \delta \cdot \cos ^{2}\left({\tfrac {\rm {{\hat {A}}+{\hat {\Gamma }}}}{2}}\right)}}$.

• Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι ${\rm {A}}=(x_{\rm {A}},y_{\rm {A}})$, ${\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}})$, ${\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }})$ και ${\rm {\Delta }}=(x_{\rm {\Delta }},y_{\rm {\Delta }})$, τότε

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{\rm {A}}&y_{\rm {A}}&1\\x_{\rm {B}}&y_{\rm {B}}&1\\x_{\rm {\Gamma }}&y_{\rm {\Gamma }}&1\\\end{vmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{\rm {B}}&y_{\rm {B}}&1\\x_{\rm {\Gamma }}&y_{\rm {\Gamma }}&1\\x_{\rm {\Delta }}&y_{\rm {\Delta }}&1\\\end{vmatrix}}.$

Ειδικά τετράπλευρα

• (Τετράγωνο) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς $x$ είναι

${\rm {E}}=x^{2}$.

• (Ρόμβος) Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναι

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \delta _{1}\cdot \delta _{2}$

όπου $\delta _{1}$ και $\delta _{2}$ είναι τα μήκη των διαγωνίων του.

• (Παραλληλόγραμμο) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι

${\rm {E}}=\beta \cdot \upsilon$

όπου $\beta$ είναι το μήκος της μίας πλευράς (αποκαλούμενης βάσης) και $\upsilon$ το μήκος της απόστασης μεταξή των δύο παράλληλων βάσεων (αποκαλούμενου ύψους).

• (Τραπέζιο) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι

${\rm {E}}={\tfrac {1}{2}}\cdot (B+\beta )\cdot \upsilon$,

όπου $B$ και $\beta$ είναι τα μήκη των δύο παράλληλων πλευρών του (αποκαλούμενες ως βάση και μικρή βάση αντίστοιχα) και $\upsilon$ το ύψος του, δηλαδή η απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες.

• Το εμβαδόν ενός τραπεζίου με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ και ημιπερίμετρο $\tau$ είναι

${\rm {E}}={\frac {\alpha +\beta }{\alpha -\beta }}\cdot {\sqrt {(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\beta -\gamma )(\tau -\beta -\delta )}}$.

• (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου δίνεται από

${\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}$

όπου $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ και $\delta$ είναι τα μήκη των πλευρών του και $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρός του.

Κανονικό πολύγωνο

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου με πλευρά μήκους $x$ είναι

${\rm {E}}={\frac {1}{4}}nx^{2}\cdot \cot(\pi /n)$.

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου με ημιπερίμετρο $\tau$ είναι

${\rm {E}}={\frac {1}{n}}\cdot \tau \cdot \cot(\pi /n)$

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου είναι

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)$

όπου $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, και $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

• Το εμβαδόν ενός κανονικού $n$-γώνου είναι

${\rm {E}}=\tau \cdot \rho$

όπου $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και $\tau$ η ημιπερίμετρος του.

Ειδικές περιπτώσεις

• (Κανονικό εξάγωνο) Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς $x$ δίνεται από

${\rm {E}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}x^{2}$.

• (Κανονικό οκτάγωνο) Το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς $x$ δίνεται από

${\rm {E}}=2(1+{\sqrt {2}})x^{2}$

Κύκλος και κυκλικός τομέας

• Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με

${\rm {E}}=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα του και $d=2r$ είναι η διάμετρος του.

• Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα είναι

${\rm {E}}={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {\Pi \cdot r}{2}}$

όπου $r$ είναι η ακτίνα του κύκλου, $\theta$ είναι η γωνία του (σε ακτίνια), και $\Pi$ η περίμετρός του.

Επιφάνεια γεωματερικών στερεών

Κύλινδρος

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου δίνεται από

${\rm {E}}_{\text{π}}=2\pi r\cdot \upsilon$,

και το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του από

${\rm {E}}_{\text{ολ}}=2\pi r(r+\upsilon )$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα και $\upsilon$ το ύψος του.

Σφαίρα

Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας μίας σφαίρας δίνεται από

${\rm {E}}_{\text{σφ}}=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα της και $d=2r$ η διάμετρός της.

Πυραμίδα

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μίας πυραμίδας δίνεται από

${\rm {E}}_{\text{π}}={\tfrac {1}{2}}\Pi \cdot \upsilon$

και το εμβαδόν της συνολικής της επιφάνειας από

${\rm {E}}_{\text{ολ}}={\rm {E}}_{B}$,

όπου ${\rm {E}}_{B}$ είναι το εμβαδόν της επιφάνειας της βάσης, $\Pi$ είναι η περίμετρος της βάσης και $\upsilon$ το παράπλευρο ύψος.

Κώνος

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι

${\rm {E}}_{\text{π}}=\pi r\ell =\pi r{\sqrt {r^{2}+\upsilon ^{2}}}$

και της συνολικής του επιφάνειας είναι

${\rm {E}}_{\text{ολ}}=\pi r(r+\ell )=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+\upsilon ^{2}}})$,

όπου $r$ είναι η ακτίνα της βάσης, $\upsilon$ το ύψος του κώνου, και $\ell$ η ακμή του.

Μεταξύ όμοιων σχημάτων

Θεώρημα — Έστω δύο όμοια πολύγωνα $\Sigma _{1}$ και $\Sigma _{2}$ με λόγο ομοιότητας $\lambda$. Τότε ο λόγος των εμβαδών τους ικανοποιεί

${\frac {{\rm {E}}_{1}}{{\rm {E}}_{2}}}=\lambda ^{2}$.

Δείτε επίσης

• Περίμετρος
• Όγκος

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Καρδαμίτσης, Σπύρος (Οκτωβρίου 2021). «Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων». Ευκλείδης Β΄ (122): 36-38. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf. 
• «Παραδείγματα και ασκήσεις στα εμβαδά πολυγώνων». Ευκλείδης Β΄ (2): 28-30. 1977. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2918. 
• Κισκύρας Νίκος (1977). «Η μέθοδος των εμβαδών και η μέθοδος των όγκων». Ευκλείδης Β΄ (2): 39-46. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2918. 
• Γ. Τασσόπουλος (1978). «Εμβαδό Κυρτού Πολυγώνου». Ευκλείδης Β΄ (4): 155-157. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4110. 
• Γιαννέλος, Δρακόπουλος (1978). «Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων». Ευκλείδης Β΄ (4): 24-26. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3951. 
• Χ. Παπαδόπουλος (1981). «Εμβαδό τριγώνου». Ευκλείδης Β΄ (1): 49-51. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3951. 
• Β. Γιαννακόπουλος (1981). «Μια σημείωση στα εμβαδά, στα κανονικά πολύγωνα και στον κύκλο». Ευκλείδης Β΄ (3): 201-204. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3149. 
• Δ. Λιουδάκης (1989). «Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων». Ευκλείδης Β΄ (3): 25-28. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3228. 
• Γκαμψάλα Χρύσα (1990). «Τα εμβαδά των επίπεδων χώρων». Ευκλείδης Β΄ (4): 30-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3403. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Trainin, J. (2007). «91.70 an Elementary Proof of Pick's Theorem». The Mathematical Gazette 91 (522): 536-540. https://www.jstor.org/stable/40378436. 
• Stein, Sherman (Δεκεμβρίου 2004). «Cutting a Polygon into Triangles of Equal Areas». The Mathematical Intelligencer 26 (1): 17–21. doi:10.1007/BF02985395. 
• Di Domenico, Angelo S. (Ιουλίου 2003). «87.46 A property of triangles involving area». The Mathematical Gazette 87 (509): 323–324. doi:10.1017/S0025557200172870. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-07_87_509/page/323.