Τύπος Βραχμαγκούπτα

Στην γεωμετρία, το τύπος Βραχμαγκούπτα είναι ένας μαθηματικός τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ως συνάρτηση των πλευρών του.

Εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Πιο συγκεκριμένα, για κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ το εμβαδόν του τετραπλεύρου δίνεται από τον τύπο

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ είναι η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδική περίπτωση αυτού του τύπου είναι ο τύπος του Ήρωνα, ο οποίος δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου, και προκύπτει θέτοντας $\delta =0$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ινδό μαθηματικό Βραχμαγκούπτα.

Απόδειξη

Απόδειξη  

Στο εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ οι απέναντι γωνίες ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$ είναι παραπληρωματικές.

Χωρίζουμε το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ στα επιμέρους τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$. Τα εμβαδά αυτών των τριγώνων είναι

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}\alpha \cdot \beta \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}$,

${\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}\gamma \cdot \delta \cdot \sin {\hat {\rm {\Delta }}}={\tfrac {1}{2}}\gamma \cdot \delta \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}$,

καθώς ${\hat {\rm {B}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {\Delta }}}$, ως απέναντι γωνίες σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

Αθροίζοντας τους δύο τύπους έχουμε

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}={\tfrac {1}{4}}(\alpha \beta +\gamma \delta )^{2}\cdot (\sin {\hat {\rm {B}}})^{2}={\tfrac {1}{4}}(\alpha \beta +\gamma \delta )^{2}\cdot (1-(\cos {\hat {\rm {B}}})^{2})$.

(1)

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων

${\rm {A\Gamma ^{2}}}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}$,

${\rm {A\Gamma ^{2}}}=\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\gamma \delta \cdot \cos {\hat {\rm {\Delta }}}=\gamma ^{2}+\delta ^{2}+2\gamma \delta \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}$.

Αφαιρώντας κατά μέλη, λαμβάνουμε ότι

$2\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot \cos {\hat {\rm {B}}}=-(\alpha ^{2}+\beta ^{2})+(\gamma ^{2}+\delta ^{2})$.

Επιστρέφοντας στην (1), λαμβάνουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}&={\tfrac {1}{4}}(\alpha \beta +\gamma \delta )^{2}+{\tfrac {1}{16}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας τους τύπους $x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y)$ (διαφορά τετραγώνων) και $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ (τετράγωνο αθροίσματος), έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}}}&={\tfrac {1}{16}}\cdot \left(2\alpha \beta +2\gamma \delta +\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}\right)\\&\qquad \cdot \left(2\alpha \beta +2\gamma \delta -\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{16}}\cdot \left((\alpha +\beta )^{2}-(\gamma -\delta )^{2}\right)\cdot \left((\gamma +\delta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{16}}\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta +\gamma -\delta )\\&\qquad \cdot (\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\\&=(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta ),\end{aligned}}$

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma +\delta )$.

Σχετικοί τύποι

Τύπος Ήρωνα

Ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν για κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ ως

$\mathrm {E} ={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$.

Τύπος Bretschneider

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ ως

$\mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos(\mathrm {A} +\mathrm {\Gamma } ))}}$.

Δείτε επίσης

• Τύπος του Ήρωνα
• Τύπος Bretschneider