Τύπος του Ήρωνα

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β, και γ έχει εμβαδό Ε:

Έστω α, b, c τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος τ, αναγκαία για την εφαρμογή του τύπου του Ήρωνα

$\mathrm {E} ={\sqrt {\tau \left(\tau -\alpha \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)}}\,$

όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

$\tau ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}$

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

$\mathrm {E} ={{\sqrt {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha -\beta )\,}}\ \over 4}.\,$

Ο τύπος του Ήρωνα ισχύει για όλα τα εγγεγραμμένα, σε κύκλο, πολυγωνα.

Απόδειξη

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: Για ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και Α, Β, Γ οι απέναντί τους γωνίες ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων:

$\sigma \upsilon \nu (\Gamma )={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}$

Έχουμε:

$\eta \mu (\Gamma )={\sqrt {1-\sigma \upsilon \nu ^{2}(\Gamma )}}={\frac {\sqrt {4\alpha ^{2}\beta ^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})^{2}}}{2\alpha \beta }}$.

Το ύψος του τριγώνου με βάση α έχει μήκος βημ(Γ), και έτσι έχουμε:

$E\,$	$={\frac {1}{2}}({\beta {\acute {\alpha }}\sigma \eta })({{\acute {\upsilon }}\psi \mathrm {o} \varsigma })$
	$={\frac {1}{2}}\alpha \beta \eta \mu (\Gamma )$
	$={\frac {1}{4}}{\sqrt {4\alpha ^{2}\beta ^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})^{2}}}$
	$={\sqrt {\tau \left(\tau -\alpha \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)}}\,$