Στη γεωμετρία, το τρίγωνο του Ήρωνα είναι ένα τρίγωνο που έχει μήκη πλευρών και εμβαδόν, ακέραιους αριθμούς.[1][2] Τα τρίγωνα του Ήρωνα πήραν το όνομά τους από τον Ήρωνα της Αλεξάνδριας. Ο όρος συχνά εφαρμόζεται ευρύτερα και σε τρίγωνα που οι πλευρές τους και το εμβαδόν τους είναι ρητοί αριθμοί.[3]

ΙδιότητεςΕπεξεργασία

Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών που αντιστοιχούν σε Πυθαγόρεια τριάδα είναι τρίγωνο του Ήρωνα, καθώς τα μήκη των πλευρών κάθε τέτοιου τριγώνου είναι ακέραιοι αριθμοί, όπως και το εμβαδόν τους, το οποίο είναι το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών όπου τουλάχιστον μια πλευρά έχει μήκος άρτιο αριθμό.

 
Τρίγωνο με μήκη πλευρών c, e και b + d και ύψος a.

Παράδειγμα τρίγωνου του Ήρωνα που δεν είναι ορθογώνιο, αποτελεί το ισοσκελές τρίγωνο με μήκη πλευρών 5, 5, και 6, του οποίου το εμβαδόν είναι 12. Αυτό το τρίγωνο προκύπτει ενώνοντας δυο ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές 3, 4, και 5, στην πλευρά με μήκος 4. Αυτός ο τρόπος προσέγγισης μπορεί να γενικευτεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα δεξιά. Παίρνοντας Πυθαγόρεια τριάδα (a, b, c), με c το μεγαλύτερο και ακόμα μια (a, d, e), με e το μεγαλύτερο, μπορούμε να κατασκευάσουμε τρίγωνα με αυτά τα μήκη πλευρών και να τα ενώσουμε στην πλευρά a, ώστε να πάρουμε τρίγωνο με ακέραια μήκη c, e, και b + d, και με εμβαδόν

  (το μισό της βάσης επί το ύψος).

Αν το a είναι άρτιος αριθμός τότε το εμβαδόν A είναι ακέραιος. Αν και δεν είναι προφανές, αν το a είναι περιττός, το A εξακολουθεί να είναι ακέραιος, αφού το b και d πρέπει να είναι και τα δυο άρτια, οπότε και το άθροισμα b+d είναι άρτιο επίσης.

Μερικά τρίγωνα του Ήρωνα δεν μπορούν να κατασκευαστούν ενώνοντας δυο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές, όπως παραπάνω. Για παράδειγμα αυτό με πλευρές 5, 29, 30 είναι τρίγωνο του Ήρωνα με εμβαδόν 72, αλλά δεν μπορεί να παραχθεί με δυο πυθαγόρειες τριάδες, μιας και κανένα ύψος του δεν είναι ακέραιος αριθμός. Επίσης κανένα πρωτογενές Πυθαγόρειο τρίγωνο δεν μπορεί να κατασκευαστεί από δύο μικρότερα ακέραια Πυθαγόρεια τρίγωνα.[4]:p.17 Αυτά τα τρίγωνα του Ήρωνα είναι γνωστά και ως μη κατασκευάσιμα (indecomposable).[4] Ωστόσο, αν κανείς δεχθεί Πυθαγόρειες τριάδες με γενικά ρητούς αριθμούς, και όχι απαραίτητα ακέραιους, τότε η αποσύνθεση σε ορθογώνια τρίγωνα με ρητές πλευρές μπορεί να γίνει πάντα,[5] μιας και όλα τα ύψη ενός τριγώνου του Ήρωνα είναι ακέραιος (αφού είναι διπλάσιο του ακέραιου εμβαδού διαιρεμένο με την ακέραια βάση). Έτσι ένα τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές 5, 29, 30 μπορούν να κατασκευαστεί από ρητή Πυθαγόρεια τριάδα με πλευρές 7/5, 24/5, 5 και 143/5, 24/5, 29.

Ακριβής τύπος για τρίγωνα του ΉρωναΕπεξεργασία

Κάθε τρίγωνο του Ήρωνα έχει πλευρές ανάλογες με του παρακάτω τύπους:[6]

 
 
 
Ημιπερίμετρος 
Εμβαδόν 
Ακτίνα του εγγεγραμένου κύκλου 
 
 
 

για ακέραια m, n και k με:

ΜΚΔ(m,n,k)=1
 
 .

Ο συντελεστής αναλογίας είναι γενικά ο ρητός   με τον q=ΜΚΔ(a,b,c) να υποβιβάζει το παραγόμενο τρίγωνο του Ήρωνα στο πρωτογενές του και το   να ανάγει το πρωτογενές στο απαιτούμενο μέγεθος. Για παράδειγμα, αν m = 36, n = 4 καιk = 3 τότε παράγεται τρίγωνο με a = 5220, b = 900 and c = 5400, που είναι όμοιο με το τρίγωνο του Ήρωνα 5, 29, 30 και με συντελεστή αναλογίας p = 1 και q = 180.

ΠαραδείγματαΕπεξεργασία

Λίστα με τα πρωτογενή ακέραια τρίγωνα του Ήρωνα. "Πρωτογενής" σημαίνει ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των τριών πλευρών είναι το 1.

Εμβαδόν Περίμετρος μήκος πλευράς b+d μήκος πλευράς e μήκος πλευράς c
6 12 5 4 3
12 16 6 5 5
12 18 8 5 5
24 32 15 13 4
30 30 13 12 5
36 36 17 10 9
36 54 26 25 3
42 42 20 15 7
60 36 13 13 10
60 40 17 15 8
60 50 24 13 13
60 60 29 25 6
66 44 20 13 11
72 64 30 29 5
84 42 15 14 13
84 48 21 17 10
84 56 25 24 7
84 72 35 29 8
90 54 25 17 12
90 108 53 51 4
114 76 37 20 19
120 50 17 17 16
120 64 30 17 17
120 80 39 25 16
126 54 21 20 13
126 84 41 28 15
126 108 52 51 5
132 66 30 25 11
156 78 37 26 15
156 104 51 40 13
168 64 25 25 14
168 84 39 35 10
168 98 48 25 25
180 80 37 30 13
180 90 41 40 9
198 132 65 55 12
204 68 26 25 17
210 70 29 21 20
210 70 28 25 17
210 84 39 28 17
210 84 37 35 12
210 140 68 65 7
210 300 149 148 3
216 162 80 73 9
234 108 52 41 15
240 90 40 37 13
252 84 35 34 15
252 98 45 40 13
252 144 70 65 9
264 96 44 37 15
264 132 65 34 33
270 108 52 29 27
288 162 80 65 17
300 150 74 51 25
300 250 123 122 5
306 108 51 37 20
330 100 44 39 17
330 110 52 33 25
330 132 61 60 11
330 220 109 100 11
336 98 41 40 17
336 112 53 35 24
336 128 61 52 15
336 392 195 193 4
360 90 36 29 25
360 100 41 41 18
360 162 80 41 41
390 156 75 68 13
396 176 87 55 34
396 198 97 90 11
396 242 120 109 13

ΠαραπομπέςΕπεξεργασία

  1. Carlson, John R. (1970), «Determination of Heronian Triangles», Fibonacci Quarterly 8: 499–506, http://www.fq.math.ca/Scanned/8-5/carlson-a.pdf 
  2. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (Ιανουάριος 1998), «The Brahmagupta Triangles», College Math Journal 29 (1): 13–17, doi:10.2307/2687630, http://www.maa.org/mathdl/CMJ/methodoflastresort.pdf 
  3. Weisstein, Eric W., "Heronian Triangle" από το MathWorld.
  4. 4,0 4,1 Yiu, Paul (2008), Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles, 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf 
  5. Sierpiński, Wacław (2003), Pythagorean Triangles, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-43278-6, http://books.google.com/books?id=6vOfpjmCd7sC 
  6. Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine Analysis", pp.11-13; in R. D. Carmichael, 1959, The Theory of Numbers and Diophantine Analysis, Dover Publications, Inc.
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Heronian triangle της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).