Ισοσκελές τρίγωνο

τρίγωνο με δύο πλευρές (και δύο γωνίες) ίσες

Στην γεωμετρία, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο έχει και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής ταυτίζονται.

Ισοσκελές τρίγωνο με και .
Η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της ταυτίζονται.

Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές (και γωνίες ίσες).

Ιδιότητες Επεξεργασία

Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:[1][2][3][4]

  • Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.
  • Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο   με   η διάμεσος  , η διχοτόμος  , το ύψος του   και η ευθεία του Όιλερ του τριγώνου ταυτίζονται.
  • Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν η διχοτόμος της   είναι και ύψος.
  • Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν η διχοτόμος της   είναι και διάμεσος.
  • Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν η διάμεσος που αντιστοιχεί στην κορυφή   είναι και ύψος.
  • Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη είναι ίσα.

Μετρικές σχέσεις Επεξεργασία

  • Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή   δίνεται από
 .
  • Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από
  και  ,
όπου   η γωνία προσκείμενη στη βάση  .
 .
  • Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι
 .

Ειδικά ισοσκελή τρίγωνα Επεξεργασία

 
Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο  .

Ορθογώνιο και ισοσκελές Επεξεργασία

Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Οι προσκείμενες γωνίες είναι 45°.
  • Η υποτείνουσα έχει μήκος   αν   το μήκος των δύο κάθετων πλευρών.
  • Το εμβαδόν του είναι  .
  • Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το   στο σχήμα).
 
Το ισόπλευρο τρίγωνο  .

Ισόπλευρο τρίγωνο Επεξεργασία

Κύριο λήμμα: ισόπλευρο τρίγωνο

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

  • Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
  • Όλες οι γωνίες είναι   μοίρες.
  • Το εμβαδόν του τριγώνου είναι  , όπου   το μήκος των πλευρών.
 
Ισοσκελές τρίγωνο   με γωνία   και  .

Τρίγωνο με γωνίες 30-30-120 Επεξεργασία

To ισοσκελές τρίγωνο   με γωνίες   και   έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό.

Ισοσκελές τρίγωνο με  .
Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Τρίγωνο με γωνίες 80-80-20 Επεξεργασία

Το ισοσκελές τρίγωνο   με γωνίες   και   έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες.[5][6][7] Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του.[8] H Roza Leiki ισοσκελή τρίγωνα στα οποία ισχύουν γενικεύσεις των ιδιοτήτων αυτών των τριγώνων.[9]

Το χρυσό τρίγωνο με γωνίες   και  .
Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε δύο ισοσκελή τρίγωνα.

Χρυσό τρίγωνο Επεξεργασία

Κύριο λήμμα: Χρυσό τρίγωνο

Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές   και  , όπου   η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες,[10] όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

Περαιτέρω θέματα Επεξεργασία

 
Χορδή   του κύκλου με κέντρο το  .

Χορδή κύκλου Επεξεργασία

Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής   (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο  , όπου   ως ακτίνες του κύκλου.

 
Διαίρεση οξυγώνιου τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα.

Διαίρεση τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα Επεξεργασία

Ένα οξυγώνιο τρίγωνο   μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο   του περιγεγραμμένου του κύκλου.[11]

Οι διάγωνιοι ενός ορθογωνίου το χωρίζουν σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.
Κάθε μία από τις διαγώνιους ενός ρόμβου τον χωρίζει σε δύο ίσα τμήματα.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και Ρόμβος Επεξεργασία

Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα   και  .

Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζουν σε δύο ισοσκελή τρίγωνα.


Πλακόστρωση tetrakis
Πλακόστρωση triakis

Πλακοστρώσεις Επεξεργασία

Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120.

Εφαρμογές Επεξεργασία

Γραφιστική Επεξεργασία

Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους.

Ισοσκελές τρίγωνο στην Παναγία των Παρισίων.
Οι γέφυρες ζευκτών τύπου Howe και Pratt.

Αρχιτεκτονική/Μηχανική Επεξεργασία

Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών.

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. Ταβναλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. 
  3. Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  5. Langley, Edward M. (Οκτωβρίου 1922). «643. [K 1 . 9. b.»]. The Mathematical Gazette 11 (160): 173–173. doi:doi.org/10.2307/3604746. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1922-10_11_160/page/173. 
  6. Bogomolny, Alexander. «The 80-80-20 Triangle». Cut the Knot. Ανακτήθηκε στις 4 Αυγούστου 2023. 
  7. Rike, Tom. «An Intriguing Geometry Problem». Berkeley Math Circle. Ανακτήθηκε στις 4 Αυγούστου 2023. 
  8. Bogomolny, Alexander. «Consecutive Isosceles Decomposition». Cut the Knot. Ανακτήθηκε στις 4 Αυγούστου 2023. 
  9. Leikin, Roza (1 Μαΐου 2001). «Dividable Triangles—What Are They?». The Mathematics Teacher 94 (5): 392–398. doi:https://doi.org/10.5951/mt.94.5.0392. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2001-05_94_5/page/392. 
  10. Bogomolny, Alexander. «Golden Ratio in Geometry». Cut the Knot. Ανακτήθηκε στις 4 Αυγούστου 2023. 
  11. Lord, N. J. (Ιουνίου 1982). «Isosceles subdivisions of triangles». The Mathematical Gazette 66 (436): 136–137. doi:https://doi.org/10.2307/3617750. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1982-06_66_436/page/136.