Ισοσκελές τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο στη γεωμετρία είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. 'Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο.Διχοτόμος, διάμεσος και ύψος ταυτίζονται. Οι παρά τη βάσει γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Το ισοσκελές τρίγωνο στην ευκλείδεια γεωμετρία

• Αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές τότε οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.

Απόδειξη: Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, όπου ΑΒ = ΑΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι τότε ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, επομένως θα είναι Β = Γ (ισότητα γωνιών).

• Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος που άγονται από την κορυφή του ταυτίζονται.

Απόδειξη: Το ισοσκελές τρίγωνο έχει 2 πλευρές ίσες. Φέρνοντας τη διάμεσο του προς τη βάση του παρατηρούμε ότι δημιουργούνται 2 τρίγωνα που έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες, επομένως και τα τρίγωνα είναι ίσα. Οι δύο γωνίες που δημιουργούνται από τη διάμεσο και τη βάση είναι ίσες και παραπληρωματικές, άρα είναι ορθές, δηλαδή η διάμεσος είναι και ύψος. Επίσης λόγω της ισότητας των τριγώνων οι δύο γωνίες που έχει σχηματίσει η διάμεσος στην κορυφή του τριγώνου είναι ίσες, άρα η διάμεσος είναι και διχοτόμος της γωνίας που βαίνει στη βάση. Επειδή τώρα σε μία πλευρά τριγώνου αντιστοιχεί μοναδική διάμεσος, μοναδικό ύψος και στη γωνία που βαίνει σε μια πλευρά τριγώνου αντιστοιχεί μοναδική διχοτόμος, η παραπάνω απόδειξη αρκεί για να πούμε ότι η διχοτόμος της γωνίας με κορυφή την κορυφή ισοσκελούς τριγώνου είναι και το ύψος και η διάμεσος προς τη βάση του καθώς και για το ότι το ύψος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου διχοτομεί την γωνία της κορυφής και είναι διάμεσος προς τη βάση.