Διχοτόμος γωνίας

ημιευθεία που χωρίζει μία γωνία σε δύο ίσα μέρη

Στην γεωμετρία, η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.[1]:52[2]:79-89[3][4]

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος Επεξεργασία

Θεώρημα: Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.[2]:79-80[4]:26

Απόδειξη: Έστω   η διχοτόμος της γωνίας   και   σημείο της  . Φέρνουμε τις κάθετες   στην   και   στην  . Θέλουμε να δείξουμε ότι οι αποστάσεις   και   είναι ίσες. Τα τρίγωνα   και   είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσα. Συνεπώς  .

Αντίστροφα, έστω   η γωνία και   εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις   και  , δηλαδή  . Τότε τα τρίγωνα   και   είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και ίση κάθετη πλευρά. Συνεπώς,  .  

Εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου Επεξεργασία

 
Εσωτερική διχοτόμος   της κορυφής   στο τρίγωνο  .

Σε ένα τρίγωνο   η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας   είναι το ευθύγραμμο τμήμα   που διχοτομεί την   και   είναι το σημείο της  . Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών   και  . Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με   ή   αντίστοιχα.

Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου Επεξεργασία

Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο   η διχοτόμος   ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά   σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,[4]:95

 

Έγκεντρο τριγώνου Επεξεργασία

Κύριο λήμμα: Έγκεντρο τριγώνου

Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.[2]:80[3]:35-36

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Μήκος διχοτόμου Επεξεργασία

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[3]:39[4]:125

 ,   και  .

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:[5]:265-266[3]:69[6]:128

    και  ,

και επίσης

 ,   και  .

Ανισοτική σχέση Επεξεργασία

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο   με   ισχύει ότι  , και αντίστροφα.[2]:83

Εξωτερικές διχοτόμοι τριγώνου Επεξεργασία

 
Η εξωτερική διχοτόμος   της κορυφής  

Ένα τρίγωνο   έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή  . Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με   ή   αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος   είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο  .

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου Επεξεργασία

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο   η εξωτερική διχοτόμος   ενός τριγώνου   με   ικανοποιεί[4]:95-96

 

Παράκεντρα τριγώνου Επεξεργασία

Σε ένα τρίγωνο   οι εξωτερικές διχοτόμοι   και η εσωτερική διχοτόμος   διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.[2]:80-81 Ονομάζεται το παράκεντρο   του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα   και  .

 
Το παράκεντρο   του τριγώνου  .

Μήκος διχοτόμου Επεξεργασία

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:[3]:40[4]:125-126

 ,   και  .

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις[5]:266-267[3]:70

 ,   και  .

και επίσης

 ,   και  .

Γεωμετρική κατασκευή Επεξεργασία

 
Κατασκευή διχοτόμου με κανόνα και διαβήτη

Η διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

  1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής   των δύο πλευρών της γωνίας.
  2. Θεωρούμε   και   τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
  3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα   και   και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το  .
  4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία Επεξεργασία

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

 

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

 

και

 

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

Περαιτέρω ανάγνωση Επεξεργασία

Ελληνικά άρθρα Επεξεργασία

Ξενόγλωσσα άρθρα Επεξεργασία

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Παραπομπές Επεξεργασία

  1. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  5. 5,0 5,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  6. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.